Visa källa för Addition och subtraktion av vektorer

__NOTOC__
= Teori =

{{malruta | Operationer på vektorer

Du lär dig addition, subtraktion och skalär multiplikatin med vektorer.
}}

=== Komposanter ===
<html>
<iframe scrolling="no" title="Komposanter" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pQpkjwdJ/width/401/height/250/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="401px" height="250px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{defruta |
Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan av komposanterna kallas resultant. 
}}

I en figur kan man åskådliggöra summan av två vektorer som diagonalen i det parallellogram som bildas av de två vektorerna (resultanten har markerats med en blå pil i figuren till höger):

''Texten från matteboken.se''

=== Addition av vektorer ===

{{Digital |{{svwp | Vektor}}er på ett utmärkt sätt. Läs den!}}{{Sats| '''Kommutativa lagen för vektorer'''

Kommutativa lagen gäller för vektorer. Det spelar alltså ingen roll i vilken ordning de adderas det resulterar i samma vektor.

:<math>\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a} </math>
}}

<html>

<iframe scrolling="no" title="Vector Addition" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Gfy9jguW/width/750/height/456/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/true/sdz/false/ctl/false" width="750px" height="456px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

==== Exempel addition av vektorer ====

En båt åker för motor med kurs rakt norrut med farten 7 knop men en kraftig vind från väster ger en avdrift med hastigheten 2 knop. Vilken verklig kurs har båten?

=== Subtraktion av vektorer ===

{{defruta | Subtraktion av en vektor är ekvivalent med additionen av den motsatta vektorn.

: <math>\mathbf{a} -\mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) </math>
}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="Vector Subtraction" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mNxnrVf7/width/913/height/457/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/true/sdz/true/ctl/false" width="913px" height="457px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== Multiplikation av en skalär och en vektor ===

{{defruta|
En skalärprodukt är en serie additioner. Exempelvis är

: <math>3  \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a} + \mathbf{a} + \mathbf{a} </math> 

Skalärprodukten går att generalisera till multiplikation av ett reellt tal med en vektor.

: <math>(-1) \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a} </math> 

En enhetsvektor är en vektor med längden 1.
}}

I GeoGebra kan du multiplicera en glidare med en vektor.

Enhetsvektorer parallella med axlarna i ett koordinatsystem är användbara.

=== Vektorer och trigonometri===

{{Digital |Denna GeoGebra förklarar [https://www.geogebra.org/m/vY5t5c3b vektorer och trigonometri] mm.}}

{{defruta|
En vektor <math>\mathbf{a} </math> (från origo) i ett koordinatsystem och vinkel v mot x-axeln kan delas upp i komposanter på x-axeln och y-axeln.

: <math>\mathbf{a}_x = \mathbf{a} cos(v) </math>
: <math>\mathbf{a}_y = \mathbf{a} sin(v) </math>
}}

= Exempel =

{{uppgfacit|
[[Fil:Vektor 2u-3v.JPG|300px|höger]]

Konstruera vektorn <math> 2 \overline{u} - 3 \overline{v} = </math>

''Klicka för att förstora bilden.''
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
|
[[Fil:2u-3v skapad.JPG|300px|höger]]
Man kan lösa uppgiften på tre sätt:

1) Rita vektorerna i koordinatsystemet. Se på bilden till höger (den går att förstora).

2) Räkna fram vektorerna:

:  <math>  \overline{u} = (1,3) </math> och <math>  \overline{v} = (2,-1) </math>

Då är:

:  <math> 2 \overline{u} - 3 \overline{v}= 2 \cdot (1,3) - 3 \cdot (2,-1) = (2 \cdot 1 - 3  \cdot 2, 2 \cdot 3 - 3\cdot (-1) = (-4, 9)</math> 

3) Det finns en GeoGebra med [https://www.geogebra.org/graphing/hg5nd4af konstruktionen 2u - 3v]. GeoGebra är oerhört kraftfullt. Du kan rita vektorerna eller skriva in deras koordinater. Sedan matar du in  2u - 3v. Klart!
}}

= Aktiviteter =

== Geogebraövning ==

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/f85CD2ja/width/838/height/450/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="838px" height="450px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== GeoGebra med tillämpning i fysik ===

Här har vi fällt in en GGB som är lite för stor.
{{Lista |
Du kan behöva trycka ctrl- för att se hela GGB:n.
<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eB7sbbUc/width/1417/height/685/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1417px" height="685px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
}}

=== Tillämpningar av vektorer (och trigonometri) ===

: [[Krafter_Fysik1#Friktion_vid_lutande_plan|Kloss på lutande plan]]

: [[Kaströrelse]]

= GeoGebra Addition =

<html>
<iframe scrolling="no" title="Vector Addition (Triangle Law)" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ykz65v6q/width/1104/height/568/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1104px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= GeoGebra 2 =

https://www.geogebra.org/m/Cy8bxaKS

Hitta en GGB med avdrift för ett plan eller en båt

Länk till worksheet: https://www.geogebra.org/m/ty53wFpP

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/92762/width/973/height/354/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferhtml5" width="973px" height="354px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
<br>
Ovanstående GGB är skapad av Håkan Elderstig fria att använda enligt Creative Commons. Den finns att laddas ner från [http://www.geogebratube.org/material/show/id/2368 GeoGebratube].
<br>

= Uppgifter =

=== Uppgift 1 ===

Rita ut och beräkna längden av vektorn <math>\mathbf{w} = 2 \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} </math> om <math>\mathbf{u} = (4, 3) </math> och <math>\mathbf{v}</math> är vektorn som börjar i punkten <math> (3, 2)</math> och slutar i punkten <math>(4, 5)</math>.

=== Uppgift 2 ===

Bestäm enhetsvektorn för <math>\mathbf{w} = \mathbf{u} - 3 \mathbf{v} </math> om <math>\mathbf{u} = (-1, 4) </math> och <math>\mathbf{v} = (0, 2) </math>.

=== Uppgift 3 ===

Dela upp <math>\mathbf{w} = 5 \mathbf{u} - 2 \mathbf{v} </math> i dess x- och y-komposanter om <math>\mathbf{u} = (2, 5) </math> och <math>\mathbf{v} = (-4, 1) </math>


=== Ett uppgiftsblad som repetition ===

Här finns uppgifter: [[Media:Veckodiagnos_7_version2.pdf|Diagnos 7 finns här]] med repetition av trigonomatri samt nummer 7 och 8 om vektoorer.

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/VeZju3XWfiXyeriC?ref{{=}}Link Operationer med vektor]}}<br />
{{ wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektorer]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/rakna-med-vektorer Räkna med vektorer] }}<br />
|}

=== GeoGebra - Addition av vektorer ===

En [https://www.geogebra.org/m/tsBer5An dynamisk GeoGebra med förklaringar och film].

=== Fördjupning  ===

''Osäkert om detta passar in här. kanske i en Sway.''

: [http://ed.ted.com/lessons/pixar-the-math-behind-the-movies-tony-derose?utm_source=TED-Ed+Subscribers&utm_campaign=6b931c9d3b-2013_09_219_19_2013&utm_medium=email&utm_term=0_1aaccced48-6b931c9d3b-46535169 TEDEd om Pixar och matematik] Sub Division borde göra sig fint i GeoGebra. Testa.

== Exit ticket ==

Exit ticket: operationer på vektorer

<headertabs />