Visa källa för Räta linjen Ma2c

= Teori =

{{malruta | Räta linjen

Centralt innehåll: 
: Begreppet kurva, '''räta linjens''' och parabelns '''ekvation''' samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp. 

Detta avsnitt kommer att behandla:
* Repetition och problemlösning
* Att hitta k och m (algebraiskt)
* Riktningskoefficienten
* Parallella och vinkelräta linjer
}} 

=== Grafiskt ===

==== Hur ser ekvationen ut för linjen i bilden? ====

En rät linje går mellan punkterna.
# Vad har linjen för lutning? '''k-värdet'''
# Vad betyder et att k är negativt
# Var skär den y-axeln? '''m-värdet'''
# Skriv räta linjens ekvation på formen y = kx + m

<html>
<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/2754587/width/892/height/613/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="892px" height="613px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

=== Beräkna k och m algebraiskt ===

hur gör man för att ta fram räta linjens ekvation?

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin linje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y = kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

{{defruta|'''<big>Att hitta räta linjens ekvation</big>'''

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

# två punkter på linjen ''eller''
# en punkt på linjen och dess lutning
}}

En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

=== Riktningskoefficienten ===

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

[[File:Slope picture.svg|thumb|Slope picture]]

{{#ev:youtube|vzkUI5W2sZQ |400|right}}

{{defruta|'''<big>Riktningskoefficienten</big>'''
<br />

: <math> k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
}}


http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

{{clear}}

=== Hitta m ===

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

: <math> y = kx + m </math>

Då är det ju bara m som är obekant.

Använd y = kx + m oxg sätt in koordinaterna för en punkt samt värdet för k. Lös ut m i ekvationen.
{{clear}}

=== Parallella och vinkelräta linjer ===

{{#ev:youtube|nZuko8vyVs4|400|right}}

==== Parallella linjer ====
[[File:Parallel Lines.svg|thumb|Parallel Lines]] 

{{defruta|
Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

: <math> k_1 = k_2  </math>
}}
{{clear}}

==== Vinkelräta linjer ====
 
{{defruta|
Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

: <math> k_1 \cdot k_2= -1  </math>
}}

<html>
<iframe scrolling="no" title="Vinkelräta linjer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Hswgg3c7/width/506/height/568/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="506px" height="568px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
{{clear}}

= Exempel =

=== Bestäm k-värdet ===

{{exruta|<big>Bestäm k</big>

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1,2) och (4,-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

: <math> k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} </math>
}}

=== Hitta m ===

{{exruta|'''<big>Bestäm m</big>'''
: <math> k = 2 </math> och en punkt är  <math> (3,5)</math>

Sätter man in värdena så får man:

: <math> 5 = 2 * 3 + m </math>

Vilket ger:

: <math> m=  5 -2 * 3  </math>

: <math> m=  5 -6  </math>

: <math> m=  -1  </math>

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som 

: <math> y=  2 x - 1  </math>
}}

=== Problemlösning ===

{{exruta| '''Billig städning + uträkning till exemplet'''

'''Uppgift'''

Erika anställer en städare och får betala för ''4 timmar 450 kr'' och för ''9 timmar 990 kr'' 
Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är timpenningen Erika måste betala?

'''Uträkning'''

Tänk så här: 

Kostnaden ökar med <math>990kr-450kr= 540kr </math>

Tiden ökar med <math>9-4= 5 timmar</math>

<math>\frac{990-450}{9-4} = \frac{540}{5} = 108 kr/timme</math>

Avgiften per timme blir<math> = 108 kr</math>
}}

= Bevis =

Bevis för att vinkelräta linjer innebär att <math>k_1 \cdot k_2 = -1 </math>

<html>
<iframe scrolling="no" title="vinkelräta linjer Bevis" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/u4dgqnck/width/608/height/379/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="608px" height="379px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

Om det är 90<sup>o</sup> mellan linjerna så gäller att:

: <math>\alpha = \beta </math>

Då är enligt figuren (likformighet eller tangens)

: <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> (1)

Förhållandet mellan sträckorna a/b och c/d ger oss riktingskoeficienterna <math> k_1</math> och <math> k_2</math>

: <math>k_1  = \frac{a}{b} </math>

och

: <math>k_2 = - \frac{d}{c} </math> eller omskrivet <math>-\frac{1}{k_2} =  \frac{c}{d} </math>

Om vi jämför med formel (1) ovan ser vi att

: <math>k_1  = -1 \cdot \frac{1}{k_2} </math>

om vi skriver om det har vi den trevligare formen

: <math>k_1 \cdot k_2  = -1 </math>

: V.S.B.

= GeoGebra =

{{GGB | Räta linjens ekvation 

[https://www.geogebra.org/m/f2DPJXwa Exempel i GGB där du kan ändra och flytta lnjen med glidare]
}}

=Laboration =

Vi ska göra en laboration med ett snöre. Ett snöre per person.

'''Ställ upp en modell för snörets längd som funktion av antalet knutar.'''

Följdfrågor

# Hur lång är en knut?
# Vilken definnitions- respektive värdemängd har modellen?

Rdovisa dina mätdata i tabeller och grafer samt skriv en redogörelse för modellens giltighet och felkällor. Använd Excel.

= Uppgifter =

=== Obligatoriska uppgifter ===

==== Är linjen rät? ====

Ligger punkterna (243,7), (244,18) och (250,84) på en rät linje?

==== Vinkelräta linjer ====

Bestäm funktionen för den räta linje som är vinkelrät mot linjen y = 0.25 x + 12 och skär x-axeln för x = 5.

=== Interaktiv övning i GeoGebra ===

{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/CyNsYTKg  Interaktiv övning]}}

=== Bra uppgifter ===

{{khanruta|[https://www.khanacademy.org/math/algebra/two-var-linear-equations/forms-of-two-var-linear-equations/e/writing-the-equation-of-a-line-in-any-form Räta linjens ekvation] }}

* [[Typtal räta linjens ekvation]]. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.

=== Repetion och enklare uppgifter ===

* [http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php OlleH]
* [[Typtal_räta_linjens_ekvation | Typtal räta linjens ekvation]]

= Aktiviteter =
 
=== Repetition och problemlösning ===

'''''Problemlösning - Diskutera'''''

<html>
<iframe scrolling="no" title="Sätt skala på axlarna" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nDM74ccY/width/678/height/412/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="678px" height="412px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

'''''Jobba själv'''''
{{uppgfacit|Kostnaden för att hyra skidor i Romme

'''1.''' Priset för en vuxen att hyra skidutrustning under en dag är 290 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 910 kr. Gör en modell för detta och beräkna priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

'''2.''' Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden?
http://www.rommealpin.se/priser-1__1053
|Se ett [http://wikiskola.se/images/Romme_skidhyra.xlsx diagram över Rommepriserna] 2007 här.

[[Fil:Rommepriser.png|right]]

Ser du något som kunde gjorts bättre när det gäller skalan på x-axeln.
{{clear}}
}}

=== Att hitta k och m (algebraiskt) ===

{{uppgruta|
En linje går genom punkterna (-3,4) och (5,-2).

Bestäm räta linjens ekvation. 

Ta nu fram ett eget exempel (med lösning) där man bestämmer  räta linjens ekvation när man känner två punkter. 

Prova att skriv det i Latex på din användarsida i Wikiskola.
}}

==== Latex-tips ====

<pre>
<math>
\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot 
</math>
</pre>

=== Riktningskoefficienten ===

{{GGB|[https://www.geogebra.org/m/WHxmVN3F Slope]

[https://www.geogebra.org/tbrzezinski Tim Brzezinski] (GeoGebra-guru) har skapat en GeoGebrabok med 22 övningar. Bläddra igenom dem och gör till exempel Quiz 1-3.
}}

=== Parallella och vinkelräta linjer ===
{{uppgfacit|Bevis vinkelräta linjer
Bevisa sambandet <math> vinkelräta linjer \Leftrightarrow k_1 * k_2 = -1</math> genom att:
#Visa om vinkelräta linjer  <math> \Rightarrow k_1 * k_2 = -1</math>
#Visa om <math>k_1 * k_2 = -1 \Rightarrow</math>  vinkelräta linjer
[[Fil:Grid perp.png|600px|right]]
{{clear}}
|
[[Fil: Bevis.png |600px|right]]
{{clear}}
}}

= Python =

=== Programmering - räta linjens k- och m-värde ===

{{python|[[Räta_linjen_med_Python|Räta linjen med Python]]}}
{{clear}}

= Lär mer =

{| align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/5BPdtYUg573T9wcC?ref{{=}}Link Räta linjen]}}<br />
|-
| {{wplink| [http://sv.wikipedia.org/wiki/Linj%C3%A4r_ekvation Ekvation] }}<br />
|-
| {{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/linjara-funktioner-och-ekvationssystem/linjara-funktioner  Linjära funktioner] }}<br />
|}

=== Allmän form (linjens ekvation) ===

{{svwp |injär_ekvation }}

En linjär ekvation kan även skrivas på så kallad allmän form:

: <math> Ax + By + C = 0\,</math>
eller på standardform:

: <math> A x +By = C.\,</math>

=== Enpunktsformen ===

Om man känner till riktningskoefficienten och en punkt <math>(x_0, y_0)</math> på linjen kan man skriva den på enpunktsform:

: <math> y-y_0 = k(x-x_0)\,</math>

<html>
<iframe scrolling="no" title="Enpunktsformeln" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rkvwghd5/width/655/height/376/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="655px" height="376px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

== Problemlösning ==

* [[Kluring_läxa:_Tristan_och_Isolde|Tristan och Isolde]]
* [http://www.malinc.se/math/functions/slopesv.php MalinC förklarar Räta linjen] Här finns det '''bra förklaringar''' och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.

=== Hitta k och m ===

* http://www.youtube.com/watch?v=obtLcSrvE_Y

===  Riktningskoefficienten ===

=== Parallella och vinkelräta linjer ===

: [http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. ]
: [http://mathbits.com/GeometryBits/Slope%20Criteria%20for%20Perpendicular%20Lines.pdf Bevis på engelska om vinkelräta linjer]. Observera att amerikaner använder m i stället för k!

== Exit ticket ==

<headertabs />