Visa källa för Vektorer

= Teori =

{{malruta | Vektorer

Vi bekantar oss med begreppet vektor och dess representationer såsom riktad sträcka och punkt i ett
koordinatsystem.
}}

=== Användningen av vektorer ===
[[Fil:Vektor-beteckningar.png|höger|250px]]

Vektorer är matematiska storheter som har både storlek (magnitud) och riktning. De används därför ofta för att beskriva fysikaliska storheter med magnitud och riktning i rummet, som till exempel kraft, hastighet, acceleration, elektriskt fält och magnetfält. Sådana vektorer kallas även rumsvektorer eller geometriska vektorer. Ibland studeras rumsvektorer även i två dimensioner. I motsats till vektorstorheter är storheter som temperatur och ljusstyrka skalärer och saknar alltså riktning.

''Texten från Wikipedia''
{{clear}}

=== Representation av vektorer ===
[[Fil:2D-coordinate-system.png|miniatyr|höger|En 2-dimensionell vektor bestämd av positionen av punkten ''A'' med koordinaterna (2, 3)]]

En vektor är inte bunden till en position, men det kan antas att en vektors startpunkt sammanfaller med origo i det aktuella koordinatsystemet. Vektorer kan då representeras av en lista med koordinaterna för vektorernas ändpunkter enligt 
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\dots,\ a_n)</math>

Talen i listan kallas också vektorns ''komponenter''. I enlighet med figuren till höger kan vektorn från ''O'' = (0, 0) till ''A'' = (2, 3) skrivas som
:<math>\mathbf{a} = (2,\ 3)</math>

''Texten från Wikipedia - Vektor''


[[Fil:Vektor AB.PNG|320px|höger]]

=== Vektorer mellan två punkter ===

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning.

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil. En vektor mellan punkterna <math>A</math> och <math>B</math> betecknas <math>\overrightarrow{AB}.</math>

=== Likadana och parallella vektorer ===

Vektorer som har samma längd och samma riktning är '''likadana''' (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

Två vektorer är '''parallella''' om de har samma eller motsatt riktning.

=== Längden på en vektor ===

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och betecknas

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

<html>
<iframe scrolling="no" title="Parallella vektorer" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/S88jkhf3/width/500/height/300/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="460px" height="280px" align="right" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

{{defruta |'''Motsatta vektorer''': 
Motsatta vektorer har samma längd men motsatt riktning. <math> \mathbf{- a} </math> är motsatt  <math>  \mathbf{a} </math>
}}
{{sats| '''Sats''': 

Parallella vektorer har antingen samma riktning eller motsatt riktning.
}}

{{defruta |'''Storleken av en vektor''': 
Storleken av en vektor beräknas med Pythagoras sats.
}}
{{clear}}

=== Längden av en vektor ===

Längden av en vektor skrivs ofta med beloppstecken som <math> |\overrightarrow{AB}| </math>.

Längden av en vektor beräknas med Pythagoras sats.

=== Vektorer i koordinatsystem ===
[[Fil:Ijk-coordinate-system.png|miniatyr|En 3-dimensionell vektor bestämd av basvektorerna '''i''', '''j''', '''k''']]

{{defruta| '''Enhetsvektorer'''

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.
}}

{{clear}}

= Exempel =

{{exruta| '''Längden av en vektor'''

[[Fil:Vektor AB längd.PNG|200px|höger]]

Vad är längden av vektor <math>u</math>

Vektorn utgör hypotenusan i en rätvnklig triangel där kateterna är parallella med varsin koordinataxel. Vi kan alltså använda Pythagoras sats genom att addera kvadraterna på längderna i x- respetive y-led och dra roten ur.

: <math> |u| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} </math>
}}

= Aktivitet =

=== Mini-GeoGebra-lektioner ===

<html>
<iframe scrolling="no" title="" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/eJnukkc3/width/873/height/512/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="873px" height="512px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>

= Uppgifter =

=== Begrepp ===

{{uppgfacit| '''Kontrollfrågor'''

# Vad har en vektor som en skalär (ett tal) inte har?
# Hur lång är en enhetsvektor?
# För en tvådimensionell vektor <math>v</math>  gäller <math>v =(4,5)</math>. Beräkna <math>|v|</math>.

CC [https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer/uppgifter#/exercises/9137/9138 Matteboken.se]
|
# Riktning
# Enhetsvektorn har längden 1
# <math>|v| = \sqrt{4^2 + 5^2}= \sqrt{16 + 25}= \sqrt{41}</math>
}}
{{clear}}

=== Procedurer ===

{{uppgfacit| '''Längden av en skalärprodukt'''

[[Fil:Vektor_u.PNG|200px|höger]]

# Vad är längden av <math>2.5 \cdot u</math> (se figur)
# Hur lång är vektorn <math>(7,-3)</math>?
# Vilka av följande vektorer är paralella? <math>(3,4), (4,5), (6,8)</math>, vektorn från <math>(3,3)</math> till <math>(6,7)</math> 
# Vilka av vektorerna är likadana?

{{clear}}
|
: 1) Vi  använder Pythagoras sats för att bestämma längden av u.

: <math> |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 </math>

Längden av <math>2.5 \cdot u</math> är således 12.5.

: 2, Längden är <math>  \sqrt{58}  </math>

 3, 4) TBD
}}

= Lär mer =

{| wikitable align=right
|-
| {{sway | [https://sway.com/rKc8sQlat91Zqhpv?ref{{=}}Link Vektor]}}<br />
{{wplink| [https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor Vektor] }}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/geometri/vektorer Vektorer] }}<br />
|}

=== Vektorer i fler dimensioner ===


I ℝ<sup>3</sup> identifieras vektorer med tripplar av koordinater:
:<math>\mathbf{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)</math>
eller
:<math>\mathbf{a} = (a_x,\ a_y,\ a_z)</math>

Ibland arrangeras dessa tripplar till kolonnvektorer eller radvektorer, särskilt i samband med hantering av matriser:

<math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}
 a_1\\
 a_2\\
 a_3\\
\end{bmatrix}
</math>
:<math>\mathbf{a} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]</math>

=== Tillämpningar i massor ===

'''Utforska''' vektorernas värld på egen hand eller med hjälp av tipsen nedan:

[http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh TED Lessons - What is a vector]

'''Vad är vektorer och vad ska man ha dem till?'''

http://sv.wikipedia.org/wiki/Vektorgrafik

Vektoreer används för att förklara [http://sv.wikipedia.org/wiki/Trefassystem trefas] elektricitet.

Hur räknar man på kulans väg i CS?

'''Den vetgirige''' tar en titt på [http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve engelska] och [http://sv.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier-kurva svenska] wikipedia om Bezierkurvor vilka används frekvent inom datorgrafiken.

Kolla vektorerna på [[Krafter_Fysik1#Vektorer|fysiksidan]].

== Exit ticket ==

Exit ticket: Vektorers representation

<headertabs />