'
Titta gärna igen på uppgiften med lådan. Där finns lösningsförslag.
Innan man ger sig i kast med att lösa en uppgift algebraiskt kan det vara bra att bekanta sig med uppgiften.
Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:
En bra Prezi
De här tre lösta exempeluppgifterna ska vi studera för att bekanta oss med några standardproblem vid tillämpning av derivatan vid lösandet av problem med verklighetsanknytning.
Volymen för en A4-cylinder. Praktisk laboration.
Tag med A4-papper
Lösning i GeoGebra.
https://www.math24.net/optimization-problems-economics/
https://www.ck12.org/section/functions-and-mathematical-models-of-analyzing-functions/
https://www.businessmanagementideas.com/management/models/mathematical-models-used-by-a-corporate-strategy-analyst-management/11329
https://en.wikipedia.org/wiki/Business_model
Börja med att lösa så många uppgifter du kan på egen hand.
Ni får även jobba i grupper om max tre personer. Ni ska välja en uppgift lösa den med metoderna som vi visat här. Ni ska ha en algebraisk lösning och en GeoGebra.
Du ska vara beredd att visa någon slumpvis lösning för klassen.
En kommande lektion får alla grupper presentera sina lösningar med projektor och dator.
Rita grafen för funktionen
Var har funktionen sitt största värde?
Derivera funktionen. Lös ekvationen som du får genom att sätta derivatan lika med noll. Hur stämmer ditt x-värde med grafen ovan?
När har funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 - 3 x + 4 }[/math] sina lokala maximum och minimum?
Bestäm de lokala extrempunkterna till funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x^4 - 8x^2 + 0,5 }[/math]
Lös uppgiften först utan dator eller miniräknare sedan verifiera din lösning med GeoGebra
Vilket är det största avståndet (i y-led) mellan graferna i området mellan skärningspunkterna?
Extrauppgift. Ovanstående uppgift var enkel på det viset att x-termerna tog ut varandra. Skapa en svårare uppgift med andra funktioner. Du behöver inte hålla dig till andragradsfunktioner.
GGB-filen ligger på GeoGebraTube.
Rita t. ex. GeoGebra en rektangel som är innesluten av kurvan [math]\displaystyle{ y = 9 - x^2 }[/math] i första kvadranten.
Ett klassiskt problem är detta.
Tänk dig att du har ett staket som är 100 m långt och du ska hägna in ett så stort område som möjligt. Du får välja mellan olika breda rektanglar och en kvadrat.
Nu har vi 70 m staket men denna gång bygger vi hagen mot en ladugårdsvägg. Tre sidor staket och en vägg. Ladan är 35 meter lång.
Vilka mått har den största möjliga hagen?
Man vill tillverka en cylindrisk behållare som rymmer 240 cm3 soppa. Vilka mått ska burken ha för att det ska gå åt så lite plåt som möjligt?
Facit: (klicka expandera till höger)
Ersätt h med uttrycket ovan ger:
Tabellen till höger visar några olika värden på r och h och den resulterande arean vilken har sitt minimum för vårt värde på r. GeoGebran Konservburken visar grafen för areans funktion.
I en pyramid med kvadratisk basyta är summan av basytans sida och pyramidens höjd är 80 meter. Hur hög är den pyramid som har störst volym?
Volymen V för en pyramid är:
där B är arean av basen och h är pyramidens höjd. Detta gäller oavsett pyramidens form.
här är en simulering av en kanon som skjuter iväg projektiler.
Från den engelska sidan på Wikipedia hämtar vi funktionen för projektilens höjd:
där y anger hur högt projektilen kommit efter en viss tid. [math]\displaystyle{ v_0 }[/math] är projektilens utgångshastighet och [math]\displaystyle{ \theta }[/math] är vinkeln.
Derivera uttrycket med avseende på tiden. Sätt derivatan lika med noll och bestäm tidpunkten för då projektilen når sin högsta höjd. Du kan själv välja vilka värden du sätter på [math]\displaystyle{ v_0 }[/math] och [math]\displaystyle{ \theta }[/math].
Sätt in ditt värde på tiden i funktionen ovan och beräkna hur högt projektilen når.
Wikipedia skriver om Projektilbana
Wikipedia: Projectile_motion
Funderar du fortfarande på vad man ska ha det här till? ja, kanske för att bestämma omHåvard Ruglands film är äkta.
Bakteriernas antal kan (förenklat) beskrivas med funktionen
där t är antalet timmar.
Testa gärna funktionen på Wolfram Alpha
I vilket tidsintervall är funktionen en lämplig beskrivning av bakteriernas tillväxt
I vilka faser är funktionen giltig om du jämför med figuren.
Tips: https://www.geogebra.org/m/CMqD7feC
Sträckan S = f(t) som en kropp faller under t sekunder kan beräknas med funktionen S= 4,9 t2 En fallskärmshoppare hoppar från ett flygplan på 3000 meters höjd.
En drakes aerodynamiska egenskaper beror på drakes area ju sttörre area desto bättre lyftkraft hos draken. I en triangelformad drake är summan av basen och höjden 120 cm. Beräkna för vilka värden på höjden och basen får draken maximal area?
Vid SLU har man undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkar skördens storlek för olika kornsorter. för en sort korn gäller följande funktion
f(x) = 0,002x3 - 0,81x2 + 105,6x + 1600 för 0 < x < 180
där f(x) är skördens storlek i kg/hektar och x är mängden tillsatt kväve i kg/hektar.
Hur mycket kväve ska tillsättas för att skördens storlek ska bli maximalt?
Luftgevär används främst för sportskytte, i viss utsträckning även för skyddsjakt på skadedjur som råttor och vissa fågelarter. För att få användas för jakt i Sverige måste kalibern vara minst 5,5 mm och utgångshastigheten minst 180 m/s.
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
En jägare vill skjuta mot en skrattmås som befinner sig 35 meter upp i luften.
Fråga 1. Vilken hastighet har kulan då den når den höjden?
Tips 1: Kulans läge kan beskrivas med fuinktionen:
Tips 2. Derivera funktionen. Derivatan av läget [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] är nämligen hastigheten vid tiden [math]\displaystyle{ t }[/math]. Alltså: [math]\displaystyle{ y'(t)= }[/math] hastigheten.
Fråga 2. Hur högt kan kulan nå?
Fråga 3. Rita graferna för [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] och [math]\displaystyle{ y'(t) }[/math] i GeoGebra. (använd x i stället för t)
Fråga 4. Surfa lite och föreslå en modifierad funktion som tar hänsyn till luftmotståndet.
Kontroll: Titta i formelsamlingen för fysik om du kan bekräfta att du fick fram rätt formel när du deriverade uttrycket ovan.
Syftet med denna inlämningsuppgift är att genom att arbeta med uppgifterna ska du kunna nå de färdigheter som krävs för att behärska:
• Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion.
• Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdes-problem inklusive teckenstudium och andraderivatan.
• Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata
• Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg.
Och därmed kunna lösa matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
Bedömningsmatris moment Derivatan