Mängdlära

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
[redigera]

Ett sätt att förmedla matematiska tankegångar och att strukturera matematiska problem är med hjälp av mängdlära. Med en matematisk mängd menar man en samling objekt. Dessa objekt kallas för mängdens element. T.ex. kan man skriva [math] M = \{1,2,3,4,5\} [/math]. M är alltså mängden av de positiva talen 1,2,3,4 samt 5. Är x ett element i M skrivs det [math]x\in M[/math], t.ex. [math]2 \in M[/math]. Däremot ingår talet 8 inte i mängden M. Detta skrivs som [math]8 \not\in M[/math]

M och N.png

Låt [math]N = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/math]. Samtliga element i M ingår nu i mängden N. Vi säger att M är en delmängd till N, det skriver vi som: [math]M \subseteq N[/math]

Ett annat exempel är från sannolikhetsteorin och när man singlar slant. Det finns två möjliga utfall, krona och klave. Mängden, S, av de möjliga händelserna blir därför [math] S = \{krona, klave\}[/math]. Eftersom detta är alla möjliga händelser. Vi säger då att S är grundmängden, det finns inga fler element att lägga till S.

Låt [math]A = \{krona\}[/math] och [math]B = \{klave\}[/math]. Då är [math]A \subseteq S[/math] samt så är [math]B \subseteq S[/math]. En viktig operation i mängdläran (och väldigt användbar inom sannolikhetsteorin) är komplementet till en mängd. Komplementet till en delmängd är samtliga element som finns i grundmängden men som inte finns i delmängden, komplementet kan skrivas på flera olika sätt, ett vanligt sätt är [math]A^c[/math] (komplementet till mängden A). För oss har vi att [math]A^c = \{klave\} = B[/math]. Vi säger att komplementhändelsen till A är B i det här fallet.

Låt [math] M = \{alla~gymnasieelever~i~Sverige\}[/math].

a) Diskutera i smågrupper och bestäm tre delmängder till M så att ni är element i delmängderna.

b) Bestäm komplementen till era delmängder.

Du har en mängd M = {3, 6, 9}. Hur många delmängder har M?