Potenser: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
 
(58 mellanliggande sidversioner av 4 användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
{|
__NOTOC__
|-
=Teori om potenser=
| {{malruta | Potenser
 
{{malruta | Potenser


Du kommer att lära dig vad potenser är och de räkneregler som gäller för potenser.
Du kommer att lära dig vad potenser är och de räkneregler som gäller för potenser.
}} |
* Grundpotensform
| {{sway | [https://sway.com/SQPEbyExxD4DHcSf?ref{{=}}Link Potenser]}}<br />
* Potenser
{{gleerups| [https://gleerupsportal.se/laromedel/exponent-1c/article/b8eb462e-80f9-4205-ac81-78f15292b088 Potenser] }}<br />
* Rötter
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser Potenser] }}<br />
}}
|}
 
En potens är ett uttryck som består av en bas och en exponent.
 
I sin enklaste form definierar vi potenser som resultatet av upprepad multiplikation.
 
{{Exruta  |4<sup>3</sup> (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 {{=}} 64.}}
 
 
Potenser underlättar hanteringen (bland annat multiplikation och division) av stora tal. Primtalsfaktorisering är en stor del i det, men när vi väl har våra faktorer ser vi att de har en tendens att återkomma, då snyggar potenser upp vårt uttryck.
 
När '''basen''' är '''10''' och '''exponenten''' är ett '''heltal''' kallar vi potensen för en '''tiopotens'''. Med tiopotenser kan vi beskriva storleksordningen av reella tal.
 
Potenser kommer även senare att bli vår koppling till logaritmer.
 
===Potenslagarna===
 
Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.
 
[[Fil:Potenslagar.png|600px|Potenslagarna]]
 
=== Några förklaringar ("bevis") ===
 
{{viktigt|
 
Vi kan förklara negativa exponenter (tredje exponentieringsregeln), <math> a^{-n} = \frac{1}{a^n} </math>
 
med ett exempel (inte ett formellt bevis)
 
<math>  \frac{1}{a^3}= \frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3} </math>
<br>
 
Man kan även visa '''nollregeln''':
 
<math> 1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} =a^0 </math>
}}
 
=== Grundpotensform ===
 
{{defruta| Grundpotensform
 
Ett tal är skrivet på grundpotensform om:
 
<math> a \cdot 10^n, där 1  \le a < 10 </math>
}}
 
'''Grundpotensform''' är ett kompakt sätt att skriva tal som heltalsexponenter med 10 som bas. Formen används framför allt för att skriva tal som är mycket stora eller mycket små.
 
En regel är om man vill ta ut grundpotensen på 134 000 000, så förminskar vi talet så många gånger så att talet blir mellan 1 och 10. Du behöver nu multiplicera talet med ett tal som motsvarar hur många gånger mindre du gjorde talet, i det här fallet 100 000 000 = 10 upphöjt i 8. Svaret blir alltså 1,34 · 10<sup>8</sup>
 
* 10<sup>1</sup> = 10
* 10<sup>2</sup> = 100
* 10<sup>3</sup> = 1&nbsp;000
* 10<sup>6</sup> = 1&nbsp;000&nbsp;000
* 10<sup>9</sup> = 1&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000
* 10<sup>20</sup> = 100&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000
 
* 10<sup>−1</sup> = 1/10 = 0,1
* 10<sup>−3</sup> = 1/1&nbsp;000 = 0,001
* 10<sup>−9</sup> = 1/1&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000 = 0,000000001
 
Genom att använda grundpotensform kan ett stort tal som 156&nbsp;234&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000 lättare skrivas som 1,56234·10<sup>29</sup>, och ett litet tal som 0,0000000000234 kan skrivas som 2,34·10<sup>−11</sup>.
 
Ett tal skrivet i grundpotensform kan delas upp i två delar, först siffervärdet, därefter tiopotensen. För att talet ska vara skrivet i grundpotensform krävs att siffervärdet är ett tal som är större än eller lika med 1 och mindre än 10.


== Aktivitet ==
De flesta kalkylatorer (miniräknare) och vissa datorprogram utelämnar bas-siffran 10 och använder bokstaven E (som i ''Exponent'') istället, till exempel 1,56234&nbsp;E29. Detta E ska inte förväxlas med talet ''e''. Det finns även datorprogram (till exempel programmeringsspråket QBasic) som använder bokstaven D istället då man anger tal på dubbelprecisionsformat.


=== GeoGebra ===
{{svwp|Grundpotensform}}


=GeoGebra=


Pröva på potensreglerna själv. Dra pricken "typ av uppgift" för att testa dig själv på olika regler. Välj visa svar när du vill kontrollera din egen lösning.
Pröva på potensreglerna själv. Dra pricken "typ av uppgift" för att testa dig själv på olika regler. Välj visa svar när du vill kontrollera din egen lösning.
Rad 20: Rad 84:
<iframe scrolling="no" title="Potensregler" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SepSA4vg/width/1000/height/533/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="533px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" title="Potensregler" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SepSA4vg/width/1000/height/533/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="533px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>
Sedan kommer en snarlik övning. Du kan välja att göra den ena eller den andra eller båda för att få problemen presenterade på lite olika sätt.


<html>
<html>
Rad 25: Rad 91:
</html>
</html>


== Teori om potenser ==
= Aktivitet - Finn regeln =


=== Definition: Potens ===
Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.


I sin enklaste form definierar vi potenser som resultatet av upprepad multiplikation.  
{| class="wikitable"
|-
! Förenkling !! Skriv regeln
|-
| <math>{(x^3)}^4 = x^{12}</math> || _______________________
|-
| <math>x^0 = 1 </math> || _______________________
|-
| 2 + 3 * 4 = 14 || _______________________
|-
| <math>{ \left( {x \over y }\right)^7} = {x^7 \over y^7}</math> || _______________________
|-
| <math>x^2 \cdot x^5 = x^{7}</math> || _______________________
|-
| <math>{(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19} </math> || _______________________
|-
| <math>{x^5 \over x^3} = x^{2}</math> || _______________________
 
|}
 
= Fyll i luckorna i filmen =
 
<html>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ll7L4ifJHhM" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>
</html>
 
På vissa ställen i reportaget har ljudet suddats bort.
 
Din uppgift är att beräkna vilka värden som saknas.
 
Du får googla så mycket du vill för att förstå hur du ska göra.
 
{{clear}}
 
=Uppgifter=
 
Kluring: Tala om vilket tal som är störst utan att använd miniräknare.  


{{Exruta |Exempelvis, 4<sup>3</sup> (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 {{=}} 64.}}
<math> 2^{36} </math> eller <math>3^{24}</math>


{{#ev:youtube | 4OmE_WpQpEY | 340 | right |Potenslagarna, av Åke Dahllöfr}}
=Python=


=== Satser: Räkneregler för potenser ===
[[Kategori:Python]]
[[Kategori:Ma1c]]
[[Kategori:Aritmetik]] 
[[Kategori:Årskurs 7-9]]
{{python|[[Python|Python-hjälp]] [https://wikiskola.se/index.php?title{{=}}Kategori:Python Fler uppgifter]}}


Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, '''potenslagarna''':
{{malruta| '''Kom igång med programmering i matematiken.'''


: <math>{(x \cdot y)}^n = x^n \cdot y^n </math>
Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar.
:
Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.
<br />
:
: <math>{ \left( {x \over y }\right)^m} = {x^m \over y^m}</math>
:
<br />
:
: <math>x^m \cdot x^n = x^{m+n}</math>
:
<br />
:
: <math>{x^m \over x^n} = x^{m-n}, (x \ne 0)</math>
:
<br />
:
: <math>{(x^m)}^n = x^{m \cdot n}</math>
:
<br />
:
{{wp}}


{{svwp|Potens_(matematik)}}
Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.
}}


==Gissa talet==


'''Definition: Exponenten är noll'''
Gissa talet är en programmeringsuppgift som passar perfekt in på detta område.


Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal inför man definitionerna att
{{uppgruta| '''Gissa ett tal'''


''a''<sup>0</sup> = 1 (om ''a'' ≠ 0) 
# Kör programmet tillsammans med en kompis.
Exempel: ''2''<sup>''0''</sup> = 1
# Kör det flera gånger. Turas om att vara den som kör programmet och den som gissar. Notera hur många gissningar som behövs varje gång ni kör programmet.
# Vilken strategi ger minst antal gissningar?
# Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
# Kan du uttrycka max antal gissningar matematiskt?
# Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
# Gå igenom programkoden och se om du förstår alla delar. Skriv ner de frågor du har om koden.
}}


'''Definition: Exponenten är negativ'''
==Python-koden==
<pre>
# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att din kamrat ska gissa det tal som du matar in. Skriv in kamratens gissningar och läs upp vad programmet säger. ")


* ''a''<sup>−''n''</sup> = 1 / ''a''<sup>''n''</sup> (om ''a'' ≠ 0).
# Ange ett tal
Exempel: ''2''<sup>−''1''</sup> = 1 / ''2''<sup>''1''</sup>
number = input("Ange ett hemligt tal mellan 1 - 100. ")


'''Definition: Exponenten är ett rationellt tal'''
# använd heltal
number = int(number)


För att den tredje potenslagen ska fungera, definieras värdet av
# räknare
potenser med rationell exponenter
guess = 0
* ''x'' = ''a'' <sup>''p''/''q''</sup> (där ''a'' > 0) är det positiva tal ''x'' som uppfyller ''x''<sup>''q''</sup> = ''a''<sup>''p''</sup>
count = 0
Speciellt betecknas ''a''<sup>1/2</sup> som kvadratroten ur ''a'' och ''a''<sup>1/3</sup> som kubikroten ur ''a''.


'''Satser:''' Roten ur produkter och kvoter
# räknare
while guess != number:


Potenser.
# gissa talet
<youtube>aM053jcgxBM</youtube>
    guess = input ("Skriv in talet (mellan 1-100) din kamrat gissar på: ")
<br>
    if guess == "exit":
Satser och definitioner nedan är hämtade från [http://sv.wikipedia.org/wiki/Potens_%28matematik%29 Wikipedia].
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
     
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre än mitt hemliga tal.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav är större än mitt hemliga tal.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som jag tänkt på  (matat in).")
        print("Talet är:",number,)       
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
       
# visar resultatet så länge vi vill
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")


{{tnkruta|Approximationer till pi
</pre>


Viiste du att du kommer ganska nära pi om du tar


: <math> 355 / 133? </math>
Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.


Ett annat collt sätt att komma nära pi är
= Resonemang om Gissa talet =


: <math> \frac{7^7}{4^9} </math>
<pdf>Fil:Gissa_talet.pdf</pdf>


och samtidigt ärr 7*7 {{=}} 49
=Lär mer=
}}


== Öva potenser ==
{| align="right" wikitable
|-
|{{sway | [https://sway.com/SQPEbyExxD4DHcSf?ref{{=}}Link Potenser]}}<br />
{{matteboken |[https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/potenser Potenser] }}<br />
|}


{{läxa|Gör kahn nedan}}
==Öva potenser==
{{khanruta|
{{khanruta|
Läxa att göra Kahn-övningar på potenser och faktorisering:
Kahn-övningar på potenser och faktorisering:
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equations-and-inequalities/e/writing_expressions_1 writing expressions 1]
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra/solving-linear-equations-and-inequalities/e/writing_expressions_1 writing expressions 1]
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra/exponents-radicals/e/simplifying_expressions_with_exponents simplifying expressions with exponents]
 
* mm
}}
}}
{{clear}}
{{clear}}


=== Kahoot ===
==GeoGebra==
 
{{kahoot | [https://play.kahoot.it/#/k/691a1da8-12cc-401f-ae23-9454cb59e2aa Logaritmreglerna] }}
 
== GeoGebra ==


Två övningar från Visuell matematik:
Två övningar från Visuell matematik:
Rad 129: Rad 241:
<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/83394/width/1233/height/608/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferhtml5" width="1233px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe>
<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/83394/width/1233/height/608/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/preferhtml5" width="1233px" height="608px" style="border:0px;"> </iframe>
</html>
</html>
:[[Tiopotenser_och_prefix|Tiopotenser och prefix]]
{{clear}}
==Exit ticket==
-  -
<headertabs />

Nuvarande version från 24 oktober 2019 kl. 08.04

[redigera]
Mål för undervisningen Potenser

Du kommer att lära dig vad potenser är och de räkneregler som gäller för potenser.

  • Grundpotensform
  • Potenser
  • Rötter


En potens är ett uttryck som består av en bas och en exponent.

I sin enklaste form definierar vi potenser som resultatet av upprepad multiplikation.

Exempel
43 (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.


Potenser underlättar hanteringen (bland annat multiplikation och division) av stora tal. Primtalsfaktorisering är en stor del i det, men när vi väl har våra faktorer ser vi att de har en tendens att återkomma, då snyggar potenser upp vårt uttryck.

När basen är 10 och exponenten är ett heltal kallar vi potensen för en tiopotens. Med tiopotenser kan vi beskriva storleksordningen av reella tal.

Potenser kommer även senare att bli vår koppling till logaritmer.

Potenslagarna

Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.

Potenslagarna

Några förklaringar ("bevis")

Viktigt

Vi kan förklara negativa exponenter (tredje exponentieringsregeln), [math]\displaystyle{ a^{-n} = \frac{1}{a^n} }[/math]

med ett exempel (inte ett formellt bevis)

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a^3}= \frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3} }[/math]

Man kan även visa nollregeln:

[math]\displaystyle{ 1 = \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} =a^0 }[/math]


Grundpotensform

Definition
Grundpotensform

Ett tal är skrivet på grundpotensform om:

[math]\displaystyle{ a \cdot 10^n, där 1 \le a \lt 10 }[/math]


Grundpotensform är ett kompakt sätt att skriva tal som heltalsexponenter med 10 som bas. Formen används framför allt för att skriva tal som är mycket stora eller mycket små.

En regel är om man vill ta ut grundpotensen på 134 000 000, så förminskar vi talet så många gånger så att talet blir mellan 1 och 10. Du behöver nu multiplicera talet med ett tal som motsvarar hur många gånger mindre du gjorde talet, i det här fallet 100 000 000 = 10 upphöjt i 8. Svaret blir alltså 1,34 · 108

  • 101 = 10
  • 102 = 100
  • 103 = 1 000
  • 106 = 1 000 000
  • 109 = 1 000 000 000
  • 1020 = 100 000 000 000 000 000 000
  • 10−1 = 1/10 = 0,1
  • 10−3 = 1/1 000 = 0,001
  • 10−9 = 1/1 000 000 000 = 0,000000001

Genom att använda grundpotensform kan ett stort tal som 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 lättare skrivas som 1,56234·1029, och ett litet tal som 0,0000000000234 kan skrivas som 2,34·10−11.

Ett tal skrivet i grundpotensform kan delas upp i två delar, först siffervärdet, därefter tiopotensen. För att talet ska vara skrivet i grundpotensform krävs att siffervärdet är ett tal som är större än eller lika med 1 och mindre än 10.

De flesta kalkylatorer (miniräknare) och vissa datorprogram utelämnar bas-siffran 10 och använder bokstaven E (som i Exponent) istället, till exempel 1,56234 E29. Detta E ska inte förväxlas med talet e. Det finns även datorprogram (till exempel programmeringsspråket QBasic) som använder bokstaven D istället då man anger tal på dubbelprecisionsformat.

Wikipedia skriver om Grundpotensform

[redigera]

Pröva på potensreglerna själv. Dra pricken "typ av uppgift" för att testa dig själv på olika regler. Välj visa svar när du vill kontrollera din egen lösning.

Sedan kommer en snarlik övning. Du kan välja att göra den ena eller den andra eller båda för att få problemen presenterade på lite olika sätt.

[redigera]

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

Förenkling Skriv regeln
[math]\displaystyle{ {(x^3)}^4 = x^{12} }[/math] _______________________
[math]\displaystyle{ x^0 = 1 }[/math] _______________________
2 + 3 * 4 = 14 _______________________
[math]\displaystyle{ { \left( {x \over y }\right)^7} = {x^7 \over y^7} }[/math] _______________________
[math]\displaystyle{ x^2 \cdot x^5 = x^{7} }[/math] _______________________
[math]\displaystyle{ {(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19} }[/math] _______________________
[math]\displaystyle{ {x^5 \over x^3} = x^{2} }[/math] _______________________
[redigera]

På vissa ställen i reportaget har ljudet suddats bort.

Din uppgift är att beräkna vilka värden som saknas.

Du får googla så mycket du vill för att förstå hur du ska göra.

[redigera]

Kluring: Tala om vilket tal som är störst utan att använd miniräknare.

[math]\displaystyle{ 2^{36} }[/math] eller [math]\displaystyle{ 3^{24} }[/math]

[redigera]
Programmeringsuppgift

Python-hjälp Fler uppgifter


Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.


Gissa talet

Gissa talet är en programmeringsuppgift som passar perfekt in på detta område.

Uppgift
Gissa ett tal
  1. Kör programmet tillsammans med en kompis.
  2. Kör det flera gånger. Turas om att vara den som kör programmet och den som gissar. Notera hur många gissningar som behövs varje gång ni kör programmet.
  3. Vilken strategi ger minst antal gissningar?
  4. Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
  5. Kan du uttrycka max antal gissningar matematiskt?
  6. Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
  7. Gå igenom programkoden och se om du förstår alla delar. Skriv ner de frågor du har om koden.


Python-koden

# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att din kamrat ska gissa det tal som du matar in. Skriv in kamratens gissningar och läs upp vad programmet säger. ")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett hemligt tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
    guess = input ("Skriv in talet (mellan 1-100) din kamrat gissar på: ")
    if guess == "exit":
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
       
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre än mitt hemliga tal.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav är större än mitt hemliga tal.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som jag tänkt på  (matat in).")
        print("Talet är:",number,)        
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
        
# visar resultatet så länge vi vill 
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")


Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

[redigera]
Swayen till detta avsnitt: Potenser


Läs om Potenser


Öva potenser

Öva på Khan:

Kahn-övningar på potenser och faktorisering:


GeoGebra

Två övningar från Visuell matematik:



Tiopotenser och prefix

Exit ticket

- -