Ekvationer: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Rad 23: Rad 23:


Det är med ekvationer vi beskriver att två matematiska uttryck är lika. Vi skriver ekvationer med hjälp av symboler på var sin sida om ett likhetstecken. Till vänster om likhetstecknet står det vi kallar vänster led, och till höger har vi höger led.
Det är med ekvationer vi beskriver att två matematiska uttryck är lika. Vi skriver ekvationer med hjälp av symboler på var sin sida om ett likhetstecken. Till vänster om likhetstecknet står det vi kallar vänster led, och till höger har vi höger led.
 
När vi pratar om att lösa en ekvation så är vårt syfte att finna de variabler för vilken likheten stämmer. Vid ekvationslösning är det därför viktigt att hålla balansen i ekvationen; allt som görs på den ena sidan likhetstecknet måste även göras på den andra.
När vi pratar om att lösa en ekvation så är vårt syfte att finna de variabler för vilken likheten stämmer.
 
Vi kan lösa ekvationer på flera olika sätt.
 
Ett av de första sättet vi löser ekvationer när vi först stöter på dem i vardagen är oftast '''identifiering''' eller '''prövning'''. Vid identifiering så försöker vi skriva om ekvationen med enbart tal och ser vilken del som motsvarar vårt x. Och vid prövning så testar vi olika värden för x till dess att vi når en lösning.
 
Det vanligaste algebraiska lösningssättet är '''balansering'''. Den här metoden är den som de flesta har sett någon gång.
 
Vi vill hålla balansen i ekvationen och allt som görs på den ena sidan likhetstecknet måste även göras på den andra. Så subtraherar vi något från vänster led måste vi även göra det från höger led.
 
En annan metod vi kan använda oss av är att flytta över hela högerledet så att vårt vänsterled blir lika med 0 (noll) och skriva om vårt uttryck i vänsterled till att endast bestå av produkter och använda oss av något som kallas '''nollproduktsmetoden'''. För om en av våra faktorer är noll, så blir produkten noll. På det sättet kan vi få mindre uttryck som är lättare att direkt identifiera. Den här metoden blir enklare när man känner sig trygg med faktorisering och att använda sig av kvadrering och konjugering baklänges.


=== Förstå proceduren ===
=== Förstå proceduren ===

Versionen från 7 september 2017 kl. 20.24

Mål för undervisningen Linjära ekvationer

Du kommer att lära dig lösa linjära ekvationer.

Först kommer du att förstå varför procedurerna för ekvationslösning är giltiga. Därefter ska du automatisera tillämpningen av procedurerna så att ekvationslösandet går på automatik.

Vi kommer dessutom att titta på hur digitala verktyg kan användas.

Swayen till detta avsnitt: Ekvationer


läromedel: Linjära ekvationer



Aktivitet

Aktiviteten denna lektion är en tydlig genomgång av hur man löser ekvationer och redovisar sin lösning på ett tydligt kommunicerande sätt.

Dessutom kan vi resonera lite om hur bedömningen ser ut och vilka krav som gäller för olika betyg.

Teori

Det är med ekvationer vi beskriver att två matematiska uttryck är lika. Vi skriver ekvationer med hjälp av symboler på var sin sida om ett likhetstecken. Till vänster om likhetstecknet står det vi kallar vänster led, och till höger har vi höger led.

När vi pratar om att lösa en ekvation så är vårt syfte att finna de variabler för vilken likheten stämmer.

Vi kan lösa ekvationer på flera olika sätt.

Ett av de första sättet vi löser ekvationer när vi först stöter på dem i vardagen är oftast identifiering eller prövning. Vid identifiering så försöker vi skriva om ekvationen med enbart tal och ser vilken del som motsvarar vårt x. Och vid prövning så testar vi olika värden för x till dess att vi når en lösning.

Det vanligaste algebraiska lösningssättet är balansering. Den här metoden är den som de flesta har sett någon gång.

Vi vill hålla balansen i ekvationen och allt som görs på den ena sidan likhetstecknet måste även göras på den andra. Så subtraherar vi något från vänster led måste vi även göra det från höger led.

En annan metod vi kan använda oss av är att flytta över hela högerledet så att vårt vänsterled blir lika med 0 (noll) och skriva om vårt uttryck i vänsterled till att endast bestå av produkter och använda oss av något som kallas nollproduktsmetoden. För om en av våra faktorer är noll, så blir produkten noll. På det sättet kan vi få mindre uttryck som är lättare att direkt identifiera. Den här metoden blir enklare när man känner sig trygg med faktorisering och att använda sig av kvadrering och konjugering baklänges.

Förstå proceduren

Balansering

Genom att behandla båda sidor av ekvationen på samma sätt, balansera ekvationen, kan man skapa nya, enklare ekvationer. Man kan alltid addera, subtrahera, multiplicera eller dividera tal eller uttryck på båda sidor, med bibehållen lösningmängd, undantaget är multiplikation och division med 0.

Genom att multiplicera båda sidor med 1/2 fås:

[math]\displaystyle{ 1/2 \cdot 2 \cdot x = 1/2 \cdot 3 }[/math] eller
[math]\displaystyle{ 1 \cdot x = x = 3/2 }[/math].

Det gör att vi nu skrivit om ekvationen på ett sådant sätt att [math]\displaystyle{ x }[/math] måste vara lika med 3/2.

Mer kortfattat kan ovanstående ekvation lösas genom balansering på följande sätt:

[math]\displaystyle{ 2x+1=4 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + \underbrace{1+(-1)}_{=0}= 4 + (-1) \quad \Leftrightarrow \quad 2x = 3 \quad \Leftrightarrow \quad \underbrace{\frac{1}{2} \cdot 2}_{=1} \cdot x \cdot = \frac{1}{2} \cdot 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{3}{2}. }[/math]

Elvatoner med nämnare

På samma sätt som vi kan balansera ekvationer kan vi multiplicera hela ekvationer så att vi får bort oönskade nämnare.

Om ekvationerna innehåller variabler i nämnaren (bråk) måste de förlängas.

Tillämpa proceduren

Det finns fyra procedurer som tillämpas vid ekvationslösning:

  • Flytta över termer och byt tecken.
  • Flytta upp eller ner till andra sidan.
  • Multiplicera allt med minus ett
  • Skifta plats på variabel och lösning.

Digitala verktyg

WolframAlpha Alpha.

GeoGebra CAS


Ekvationer med x i båda leden

Gungbrädan som ekvation. Kan du se vilken ekvation som representerar gungbrädan och dess vikter?


Ett exempel på en ekvation med x i båda leden kan vara:

[math]\displaystyle{ 6 x = 3 x + 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 x = 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \frac{2}{3} }[/math]

Litet svårare ekvationer

Ekvationer: lösa ut variabel. Och sedan: Ekvationer med variabler i båda led.

Ekvationer med variabler i nämnaren. Och sedan: Ekvationslösning med MGN.

Ställa upp ekvationer.


Öva själv

Ekvationer med x i båda leden


Två-stegs-ekvationer

Öva på Khan: Two-step equations


Testa här om du förstår processen för att lösa två-stegs-ekvationer:


En övning i GeoGebra

Länk till GGBTube

Lär mer

Wikipedia skriver om Ekvationslösning#Att_l.C3.B6sa_en_ekvation