Teckenstudium med förstaderivatan
Teckenstudium, hitta extremvärden, mm
Det är förhållandevis krångligt att skissa en graf med hjälp teckenstudium och derivatan. Samtidigt är det en typ av uppgift som av tradition är vanlig på olika prov.
Efter att digitala verktyg som exempelvis GeoGebra blivit tillgängliga är det mycket enklare att skissa grafer. Aktiviteten att skissa grafer för hand är fortfarande mycket nyttig för förståelsen.
En stor del av texten som följer kommer från Matteboken.se.
Strängt avtagande / växande
En funktion är strängt avtagande i ett intervall [math]\displaystyle{ a≤x≤b }[/math] om det i detta intervall gäller att varje par av x-värden där [math]\displaystyle{ x1\lt x2 }[/math] också har funktionsvärden där [math]\displaystyle{ f(x1)\gt f(x2) }[/math]. Man kan också uttrycka att en funktion är strängt avtagande i ett intervall om [math]\displaystyle{ f′(x)\lt 0 }[/math] gäller för alla x-värden i intervallet.
Att använda teckentabell
Stegen i korthet:
- Derivera och sätt derivatan lika med noll för att hitta nollställen
- Sätt in x-värdena i funktionen för att hitta y-värdena. Markera punkterna i koordinatsystemet.
- Beräkna derivatans värde för x-värden som ligger på sidorna och mellan nollställena.
- Sätt upp en teckentabell
1 Derivera funktionen
- [math]\displaystyle{ f(x)=x^4−2x^2 }[/math]
Vi börjar med att identifiera möjliga extrempunkters x-värden. Det gör vi på samma sätt som tidigare genom att derivera funktionen, sätta derivatan till noll och lösa den resulterande ekvationen:
- [math]\displaystyle{ f′(x)=4x^3−4x }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0=4x \cdot (x^2−1) }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2−1=0⇒ }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_2=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_3=-1 }[/math]
2 Markera punkterna
Vi beräknar funktionsvärdena (y-värdena) i de tre punkterna, där derivatan alltså är lika med noll:
- [math]\displaystyle{ f(−1)=(−1)^4−2⋅(−1)^2=1−2=−1⇒(−1,−1) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(0)=0^4−2⋅0^2=0⇒(0,0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(1)=1^4−2⋅1^2=−1⇒(1,−1) }[/math]
Vi lägger in dessa tre punkter i en figur. Då får vi en bättre överblick på hur kurvan ser ut. (rita)
3 Beräkna värden för derivatan i "mellanpunkter"
Härefter går vi vidare med teckenstudium. Syftet med teckenstudien är att vi ska ta reda på om var och en av våra punkter är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. För säkerhets skull ska vi identifiera hela kurvan, även den del av kurva som är utanför intervallet.
I uttrycket för funktionens derivata testar vi att sätta in ett värde på x som är mindre än -1, ett x som är större än -1 men mindre än 0, ett x som är större än 0 men mindre än 1, samt ett x som är större än 1:
- [math]\displaystyle{ f′(−2)=4⋅(−2)^3−4⋅(−2)=4⋅(−8)+8=−24⇒− }[/math]
- [math]\displaystyle{ f′(−0,5)=4⋅(−0,5)^3−4⋅(−0,5)=4⋅(−0,125)+2=1,5⇒+ }[/math]
- [math]\displaystyle{ f′(0,5)=4⋅0,5^3−4⋅0,5=4⋅0,125−2=−1,5⇒− }[/math]
- [math]\displaystyle{ f′(2)=4⋅2^3−4⋅2=4⋅8−8=24⇒+ }[/math]
4 Teckentabellen
De här resultaten sammanställer vi i en teckentabell:
| [math]\displaystyle{ x }[/math] | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 |
| [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] | [math]\displaystyle{ \searrow }[/math] | [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] | [math]\displaystyle{ \nearrow }[/math] | [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] | [math]\displaystyle{ \searrow }[/math] | [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] | [math]\displaystyle{ \nearrow }[/math] |
Vi kan nu komplettera vår tidigare figur ovan med den nya informationen från vår teckenstudie. Vi vet nu hur kurvan lutar mellan punkterna där derivatan är lika med noll. Utöver det vet vi också hur kurvan lutar när man går till vänster om den extrempunkt som ligger längst till vänster och till höger om den som ligger längst till höger.
Skissa nu grafen:
(rita)