Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av ex ärex och varför det är så .
Talet e som förekommer i exponentialfunktionen f(x)=ex är en matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828.
Om f(x)=ex så är f′(x)=ex
Om f(x)=ekx så är f′(x)=kekx
"e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:
Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.
Wikipedia skriver om talet (e)
Klicka på funktioerna och deras derivator. Vad händer om basen är 2 respektive 3? Händer det något spännande om basen ligger mellan 2 och 3? Testa med glidaren.
Använd derivatans definition på funktionen f(x)=ax i punkten x=0.
Variera a med hjälp av glidaren. Vad upptäcker du och vad betyder detta?
Länk till en GeoGebra Classic-konstruktion.
Skriv in funktionen f(x)=ax i Geogebra.
Skriv in g(x)=f′(x)
Vi drar i glidaren till kurvorna sammanfaller.
För vilket värde på a är derivatan och funktionen lika.
Se också resonemanget på Matteboken.se
Kontrollera också om det gäller att "Talet e är det enda a som gör att derivatan av f(x)=ax vid x=0 är lika med 1.
Vid derivering av exponentialfunktioner av typen ax , där a är en konstant uppkommer detta mönster.
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ax+h−axh
f′(x)=limh→0ax(ah−1)h
f′(x)=limh→0ax⋅ah−1h
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:
ax⋅k , där k=limh→0ah−1h
Om exempelvis värdet 2 insätts för a a går k mot ≈ 0.69
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen 2x följande:
f(x)=2x
f′(x)=limh→02x⋅2h−1h≈0.69⋅2x
Om exempelvis värdet 3 insätts för a a går k uttryck mot ≈ 1.1
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen 3x följande:
f(x)=3x
f′(x)=limh→03x⋅3h−1h≈1.1⋅3x
Alltså ska talet som medför att k=ah−1h=1 befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.
Om vi följaktligen deriverar exponentialfunktionen ex blir derivatan följande:
f(x)=ex
f′(x)=limh→0ex⋅eh−1h=1⋅ex=ex
Derivatan för funktionen ex motsvarar därför sig själv. Alltså:
f′(x)=ex
Den här härledningen är svår och kräver att du utökar dina matematikkunskaper på egen hand.
f′(x)=limh→0ek(x+h)−ekxh==limh→0ekx(ekh−1)h==ekxlimh→0ekh−1h==ekxlimh→0(e)kh−1h==ekxlimh→0((1+h)1h)kh−1h==ekxlimh→0(1+h)k−1h==ekxlimh→0∑i=0k(ki)1k−ihih==ekxlimh→0∑i=0k(ki)hih==ekxlimh→0∑i=1k(ki)hi−1h==ekx(k1)==kekx
Ange talet e med tre decimalers noggrannhet.
Beräkna värdet av f(3) om f(x)=ex
Beräkna värdet av f(2.55) om f(x)=2⋅ex7
Bestäm derivatan för f(x)=ex
Bestäm derivatan för f(x)=e5x
Bestäm derivatan för f(x)=6⋅e5x
Bestäm lutningen för f(x)=2⋅e3x då x=5
Facit till de senare uppgifterna finns i filmen med Åke Dahllöf på teorifliken.
Det finns två pdf-er på Canvas.
Lättfattlig beskrivning på naturvetenskap.org
e kan också definieras som gränsvärdet
De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)n}, n = 1, 2, ... är följande:
I decimalform, avrundat till tre decimaler:
Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.
Wikipedia skriver om e(tal)