Oberoende händelse

Mål för undervisningen Oberoende händelser

Denna lektion lär du dig om sannolikhetslärans grunder och oberoende händelser.

Sannolikhet

Sannolikhetslära, av Magnus Bergwall

Sannolikheten brukar betecknas med P, från engelskans probability (som betyder just sannolikhet).

Sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa är alltid mellan 0 (kommer aldrig att ske) och 1 (kommer alltid att ske).

En sannolikhet på 0 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 0 % av fallen, medan en sannolikhet på 1 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 100 % av fallen - på motsvarande sätt innebär en sannolikhet på 0,5 att händelsen kan förväntas inträffa i 50 % av fallen.

Texten från matteboken.se

Definition

Sannolikhet:

[math]\displaystyle{ Sannolikheten\, för\, en\, händelse\, {{=}}\, \frac{antalet\, gynnsamma\, utfall}{ antal\, möjliga\, utfall} }[/math]

Med P(A) menas sannolikheten för att händelse A ska inträffa.

En förutsättning är att alla händelser är lika sannolika. Ovanstående gäller exempelvis inte för en viktad tärning.

Exempel

Åttasidig tärning

Vad är sannolikheten att få sju eller åtta vid ett kast med en åttasidig tärning?

Om [math]\displaystyle{ A = \{7,8\} \, }[/math]så är [math]\displaystyle{ P(A) = P(sjua\, eller\, åtta) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \, }[/math]

Oberoende händelse

Om händelsen A är "kast med två tärningar där summan av antalet prickar är mindre än 4" är A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)},

Definition

Oberoende händelser

Inom sannolikhetsläran sägs två händelser vara oberoende om utfallet av den ena händelsen inte påverkar utfallet av den andra händelsen. Ett exempel på två oberoende händelser, är att kasta en sexsidig tärning två gånger.

Vad är sannolikheten att få två sexor?

[math]\displaystyle{ P(sexa,\,sexa) = P(sexa) \cdot P(sexa) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} }[/math]

Utfallsdiagram är används för att visa alla möjliga utfall och beräkna sannolikheten för en händelse. Se exempel till höger.

Komplementhändelse

Definition

Komplementhändelse:

Sannolikheten för att något inte ska inträffa är ett minus sannolikheten att det ska inträffa.

[math]\displaystyle{ P( inte \: A) = 1 - P(A) }[/math]

Exempel

Komplementhändelse

Ett lotteri ger vinst på i snitt var tredje lott.

Ulrik tar två lotter. Vad är sannolikheten att han vinner på minst en lott?

Svar: Ett minus sannolikheten att han inte vinner på någon.

[math]\displaystyle{ P(en\, eller\, två\, vinster) = 1- P(ingen\, vinst) =1 - P(förlöst,\, förlust) = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} }[/math]

Istället för att beräkna sannolikheten för att Ulrik drar lotter med (vinst, vinst) eller (vinst, förlust) eller (förlust, vinst) beräknar man P(förlust, förlust) och tar komplementet till det.

Första lotten	Andra lotten	Sannolikhet
Vinst	Vinst	[math]\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} }[/math]
Vinst	Förlust	[math]\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} }[/math]
Förlust	Vinst	[math]\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} }[/math]
Förlust	Förlust	[math]\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} }[/math]

[redigera]

Kast med tärningar

Vilken summa förekommer oftast vid kast med två tärningar?

Ställ upp en hypotes och testa den sedan genom att göra 50 kast där du antecknar utfallet i en tabell.

Rulla tärning från http://www.geogebratube.org/student/m712:

[redigera]

Denna interaktiva GeoGebra ger dig uppgifter att lösa. Självklart får du poäng när du klarar uppgifterna.

[redigera]

Programmeringsuppgift

Python-hjälp och Fler uppgifter

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska använda program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.

Simulera täningskast med ett program

Om du gör många tärningskast och räknar varje gång en viss händelse kommer du att få ett experimentellt värde som ligger i närheten av det teoretiska. Du kan låta datorn göra jobbet åt dig. Programmet kommer att använda en slumpfunktion. På det viset kan du simulera tusentals tärningskast på någon sekund. Testa med Pythonprogrammet till höger.

Vad gör programmet?

Uppgift
Kast med tärning Vad gör programmet? Du ser det när du kör det men du kan också förklara det genom att titta på beräkningarna i koden. Diskutera med en kamrat. Gör om programmet så att du beräknar sannolikheten att tärningssumman är sju. Hitta på en annan funktion för programmet.

Python-koden

from random import randint

raknare = 0

n = int(input("Ange antalet kast: "))

#Kör loopen från 0 till n - 1, dvs n gånger
for i in range(n):
    #randint(a, b) slumpar fram ett heltal x, a <= x <= b
    tarning1 = randint(1, 6)
    tarning2 = randint(1, 6)
    #Om tärningarna visar lika
    if(tarning1 == tarning2):
        #Räkna antalet gynnsamma utfall
        raknare = raknare + 1

#Den simulerade sannolikheten bör såklart konvergera mot 1/6
print("Sannolikheten för att båda tärningarna visar samma är: " + str(raknare/n * 100) + " %.")

Uppgiften är inspirerad av Malmö stads Matematisk programmering i Python

[redigera]

Lös dessa uppgifter med papper och penna.