Använda derivatans definition
Introduktion till derivatan
Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.
Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
- lutningen i en punkt
- sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
- sätt att hitta extrempunkter
- Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
Blomkrukan
Skapa en Geogebra för funktionen s(t) = 5 t^2. I GeoGebra behöver du dock använda x i stället för t som variabel.
Derivatan är lutningen i en punkt
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
- [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
| Definition |
|---|
|
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet
|
Exempel 1
Använd derivatans definition.
Bestäm tangentens k-värde i punkten där x = 2 om f(x) = 3 x^2.
Exempel 2
Använd derivatans definition för att bestämma f'(4) om f(x) = 3 x + 5.
Geometrisk tolkning
Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).
Fördjupning
Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.