Använda derivatans definition
Introduktion till derivatan
Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.
Nu är det dags att förklara vad derivatan är:
- lutningen i en punkt
- sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
- sätt att hitta extrempunkter
- Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
- Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]
Derivatan är lutningen i en punkt
Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.
Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs
- [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]
Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.
| Definition |
|---|
|
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet
|
Geometrisk tolkning
Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).
Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0.
Wolfram - Snowboardåkaren
This Demonstration shows the geometric nature of the first and second derivative using a snowboarder. Imagine watching a snowboarder using a telescope. The inclination of the snowboard gives a numeric value for the first derivative, as read from the calibrated scale on the edge of the telescope. Here we assume that the snowboarder is not jumping, so that the board is always tangent to the slope. The second derivative is represented geometrically by how the front tip of the snowboard rotates upwards or backwards. You can make flags show in places where the first/second derivative are zero and you can choose different courses for practice. The author has found this Demonstration useful with his students, explaining using one course and letting them try to determine sign diagrams for the other courses.