Algebra 2C
Varför ska man lära sig algebra?
Läs den här: Why Is Algebra Important to learn?
Intro
Kuriosa: Grafer på Google
Algebraintroti boken på sid 3
Gerolamo Cardano funderade över lösingen till följande ekvation
Kan vi dela talet 8 i två delar så att deras produkt blir 25?
- [math]\displaystyle{ x(8-x) = 25 }[/math]
Ekvationen har följande rötter:
x = 4 + rot(-9) x = 4 - rot(-9)
Ekvationen kan skrivas om på detta sätt:
8x - x2 = 25
x2 - 8x + 25 = 0
Men vad är roten ur -9? Det är ett imagint tal, som skrivs 3i. Kolla gärna Wolfram Alpha för en lösning till ekvationen ovan
OlleH
öva algebra här: http://olleh.se/start/frageprogramMa2.php
Förenkling av uttryck
Sats: Distributiva lagen
- [math]\displaystyle{ a(b+c) = ab + ac }[/math]
Ekvationer
Vid lösning av ekvationer kan du tänka att det är tillåtet att göra samma sak på båda sidor av likhetstecknet. Du kan addera samma sak på båda sidorna. Eller subtrahera samma sak på båda sidorna. På samma sätt kan du multiplicera eller dividera med samma sak på båda sidorna.
Detta kan du använda för att förkorta bort något på ena sidan och resultatet blir att den saken byter upp på andra sidan men med motsatt tecken (plus blir minus osv).
På denna sida från Matteboken.se finns en förklaring skriva om hur man ändrar i ekvationer på detta sätt. Titta gärna på filmen på sidan också.
När man får kläm på det här sättet att ändra i ekvationer brukar man helt enkelt flytta över saker till andra sidan och byta tecken. På så sätt kan man ändra en ekvation så att man får sitt x (eller vilken variabel man nu vill lösa ut) ensamt på en sida.
Kvadrerings- och konjugatregler
Parentesmultiplikation
Multiplikationen är både algebra och geometri
Hur funkar det om man multiplicerar två parenteser med varandra?
Först inleder vi med ett exempel med siffror
En övning som visar exemplet nedan i bilder. Ett tal kan delas upp i sin entalsdel och sin tiotalsdel innan en multiplikation. PowerPoint. Gånger av tvåsiffriga tal visas med hjälp av bilder. Detta är ett exempel från grundskolan. Det syns till höger.
Exempelvis
- [math]\displaystyle{ 12*13=(10+2)*(10+3)=100+30+20+6. }[/math]
Repetition aritmetik: Pappersövning i skriftlig huvudräkning.
Och nu med bokstäver
Tänk sedan att du gör samma sak med bokstäver
- [math]\displaystyle{ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd }[/math]
Hela filen kan laddas ner här.
Bevis som utgår från distributiva lagen
- [math]\displaystyle{ x(c+d) = xc+xd }[/math]
Antag att [math]\displaystyle{ x = a+b }[/math] och sätt in i uttrycket ovan.
- [math]\displaystyle{ (a+b) c+(a+b)d }[/math]
- [math]\displaystyle{ c(a+b)+d(a+b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ ca+cb+da+db }[/math]
- [math]\displaystyle{ ac+bc+ad+bd }[/math] V.S.B.
Läs om distributiva lagen på wwebbmatte.
Öva hos OlleH: http://olleh.se/start/frageprogramMa3.php
Kvadreringsregeln
Första och andra kvadreringsreglerna
Kvadreringsreglerna är regler i algebran om hur man utvecklar uttrycken
| [math]\displaystyle{ \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 }[/math] | (Första kvadreringsregeln) |
| [math]\displaystyle{ \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 }[/math] | (Andra kvadreringsregeln) |
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Förklaring (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ba+b2 = ( och ab = ba ) a2-2ab+b2 V.S.B.
Länkar:
Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:
WolframAlpha Widget
Här kan du testa att låta datorn göra parentesmultiplikation:
{{#widget:WolframAlpha|id=c3f53c80c93fa003e2f8f54c64e0e386}}
En första läxa
Det är viktigt att vi kommer igång med att lära oss Geogebra.
Första naturliga ingången är egentligen räta linjen där det blir en tydlig koppling mellan funktion och utseende.
GGB-uppgift 1
Ladda ner programmet.
Skriv in en valfri räta linjens funktion.
Ändra färg och tjocklek på grafen.
Ändra så att grafens egenskap syns.
Mejla filen till din lärare.
Konjugatregeln
Konjugatregeln
- Så här ser den ut:
- a2-b2 = (a-b)(a+b)
- [math]\displaystyle{ (a-b)\cdot(a+b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ = a^2 +a\cdot b -a\cdot b -b^2 }[/math]
- vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:
- [math]\displaystyle{ = a^2-b^2 }[/math]
- V.S.B.
Film
Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:
Geometriskt bevis av konjugatregeln
Första beviset
Andra beviset
Visualisering
Här gäller: [math]\displaystyle{ (x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2 }[/math] Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit. [math]\displaystyle{ (a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2 }[/math]
Uppgifter
Övningar (utan räknare)
1. [math]\displaystyle{ 1992\cdot 2008 = ? }[/math] 2. Lös [math]\displaystyle{ x^2-1=0 }[/math] för alla reella x.
Tips : Använd konjugatregeln och nollregeln för ekvationen.
Webbmatte
| Uppgift |
|---|
| Diagnos 11
Rättelse: I lösningen till uppgift 6 finns tyvärr inte med att lösningen även har en negativ rot. Detta kommer vi att gå in noggrannare på i avsnitt 1.3 som behandlar andragradsekvationer. |
Snabbdiagnos 1
Ekvationer med x2-term
Repetition
Gör Khan-uppgiften från förra avsnittet om du inte redan gjort det.
Intro
Detta avsnitt handlar om ingenting kan man säga. Det handlar nämligen om ekvationer med x2-termer som försvinner vid förenklingen.
Räkna uppgifterna: 1245-1258
En laborativ datorövning på pascals triangel
Aktivitet
Ta ett papper och en penna och utför följande:
- Utveckla [math]\displaystyle{ (x+y)^2 }[/math]
- Utför nu [math]\displaystyle{ (x+y)(x+y)^2 }[/math]
- Summera de termer som är lika.
- Nästa steg blir förstås [math]\displaystyle{ (x+y)(x+y)^3 }[/math]
- Studera polynomen ovan genom att skriva dem under varandra. Vad ser du för mönster gällande antalet termer och gradtalen för termerna
- Läs på om Pascals triangel och skriv polynomet för [math]\displaystyle{ (x+y)^4 }[/math] och [math]\displaystyle{ (x+y)^5 }[/math]
- Skriv en förklaring med egna ord hur Pascals triangel hänger ihop med koefficienterna till polynomen av [math]\displaystyle{ (x+y)^n }[/math]
- Hur ser polynomet för [math]\displaystyle{ (x+y)^{11} }[/math] ut?
- Hur ser polynomen för [math]\displaystyle{ (x-y)^2 }[/math], [math]\displaystyle{ (x-y)^3 }[/math], ... ut?
Lär mer
Andragradsekvationer
Enkla andragradsekvationer
Av Daniel Barker.
Den här behöver man fundera på en stund. Quadratic equations in early Baghdad
Även nu har vi att göra med andragradsekvationer som är enkla fall av den fullständiga ekvationen.
Antingen förkortas x-termerna bort så att man får kvadrattermer kvar att ta roten ur
eller
så har man ett kvadraten på ett binom (ett parentesuttryck upphöjt till två) som man tar roten ur.
I båda fallen blir det en positiv och en negativ rot som svar (eller cdel av svaret men det blir inga imaginära tal eller komplexa rötter i detta avsnitt.
Fullständiga andragradsekvationer
pq-formeln - Förklaring
En generell beskrivning av en andragradsekvation ser ut så här:
- [math]\displaystyle{ x^2 + px + q = 0 }[/math]
där p och q är tal (siffror) i den speciella ekvationen.
Den allmänna ekvationen har lösningen:
- [math]\displaystyle{ x=-p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2-q} }[/math]
Om du vill lösa en ekvation behöver du bara ta reda på vad p och q motsvaras av i din ekvation och sedan sätter du in dessa siffror i formeln ovan.
Tänk på att det inte ska stå någor framför [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]-termen
Flipp: Se två filmer med Michael Bondestam:
Räkna själv
Lösning: 1339 har jag gjort i ggb och den finns på hårddisken.
Mario om nytan med andragradsekvationer:
Kvadratkomplettering
Man kan börja med kvadratkomplettering som en inledande förklaring till pq-formeln men det är lika bra att ge sig på pq-formeln direkt. Sedan kan man gå tillbaks till kvadratkompletteringen för att få ett bevis för att pq-formeln fungerar.
Uppgift:
Diagnos 2 med pq-formeln
Andragradsekvationer och rötter
| Exempel |
|---|
Lös ekvationen:
Vad händer? Pröva nu ekvationen:
här har vi en ekvation som saknar reella lösningar. |
| Definition |
|---|
En andragradsekvation kan ha två reella rötter eller en dubbelrot eller två komplexa rötter |
| Uppgift |
|---|
|
Komplexa tal
Teori
| Definition |
|---|
| Komplexa tal
Ett komplext tal består av en realdel [math]\displaystyle{ a }[/math] och en imaginärdel [math]\displaystyle{ b }[/math].
|
Läs mer: Komplexa tal på wikipedia
Vad ska man ha komplexa tal till?
- Komplexa tal används när man räknar på växelström.
- Titta på denna ppt från Uppsala.
- j-omegametoden
Komplexa rötter
x2 = -16 har ingen reell rot men däremot två komplexa. Det beror på att lösningen är roten ut ett negativt tal. Roten ur -16 är +4i respektive -4i.
x2+3x+16=0 har också två komplexa rötter fast här beror varje rot av både en realdel och en imaginärdel.
Rotekvationer
Teori
Rotekvationer innehåller x-termer och roten ur x-termer. Man löser dem genom att kvadrera båda leden.
- [math]\displaystyle{ \sqrt{x+2} = x }[/math]
Kvadrera båda sidorna:
- [math]\displaystyle{ x+2 = x^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_1 = - 1, x_2 = 2 }[/math]
Viktigt att kolla om man har falska rötter.
[math]\displaystyle{ -1 }[/math] är en falsk rot eftersom den inte gör att vänster led och höger led blir lika i ursprungsekvationen.
Svaret är alltså [math]\displaystyle{ x = 2 }[/math]
Problemlösning med ekvationer
Professionell matte
Har ni tänkt på att det är ett tag sedan vi gjorde matte som man har nytta av i vardagen? Kvadreingsregeln, konjugatregeln, kvadratkompletteringen och pq-formel hör inte till vardagsmatten. De hör till den professionella matten. Sådan matte som ingenjörer använder.
Vad ska man ha andragradsekvationer till?
De används i spel till exempel.
- Wikipedia om projectile motion
- Här finns länkar om fysikmotorn bakom Angry Birds och mycket annat
- Det finns ett exempel med två bollar som faller och där den ena även far i x-led. Banan beskriver en parabel och det är ett klassiskt exempel på en andragradsekvation. Du kan se Action Script-koden.
PhET
En idé kan vara att ta en screenshot på en projektilbana från PhET-simuleringen ovan och klistra in i GeoGebra. Sedan sätter man tre eller fler punkter på kurvan och anpassar till en andragradsekvation. Det visar om inte annat bakvägen att fysiken innehåller andragradsfunktioner. Om man är osäker på hur man anpassar punkter till en funktion så har jag gjort det med mätvärdena från laborationen på tyngdacceleration.
Ekvationslösning med faktorisering
Diagnosen blir läxa att göra om hemma och denna gång ska den ha alla rätt. Det gäller alla. Facit kommer upp på tisdag så kan alla rätta själva.
På tisdag som är en lång lektion kommer vi att göra uppdelning i faktorer både med konjugatregeln och kvadreringsreglerna om det går.
Uppdelning i faktorer med konjugatregeln
| Uppgift |
|---|
|
Först ska vi repetera konjugatregeln med ett lösblad där det är rad snabba uppgifter. Dessa uppgifter bör klaras av på mindre än tre minuter. |
Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna
| Uppgift |
|---|
|
Här ska vi också repetera kvadreringsreglerna med ett lösblad. |
Faktorisering och ekvationer
Onsdag
Repetera lösbladet från förra lektionen en gång till. I övrigt struntar vi i beting på faktorisering med kvadreringsregelerna.
Dagens beting: 1426-1430
Dataövning - konsekutiva tal
Del ett (n-1)(n+1)+1
Del två
Del tv är svårare. Det handlar om fyra konsekutiva tal. Addera ett till produkten av de fyra talen och ta roten ur. Detta ska bli ett heltal.
- Wolfram|Alpha har en lösning men ingen förklaring.
- Med hjälp av den ledtråden från Wolfram ser min lösning ut så här.
- Tanja löser uppgiften genom att pröva.
- Fredrik använder kvadratkomplettering och substitution för att lösa uppgiften. Lösningen syns i bilden till höger.
- Charlie i NV11 löser det genom att hitta mönster i de tal han prövar med och ...
Prov onsdag vecka 6
| Uppgift |
|---|
| Diagnos 14 |
Repetition på fredag och måndag
Uppgift: Khan Academy
Uppgifter
- Läs sammanfattningen på sidan 54.
- Gör Test 1 på sidan 55.
pappersövningar
- Öva ekvationer (= Extrablad ekvationer): finns bara på papper
- Faktorisering: finns bara på papper
- Öva enkla andragradsekvationer: finns bara på papper
Provet skall vara tisdag vecka 7 (ligger på SchoolSoft).
Facit och bedömning
Christers bedömningsmall från mellandagen bör finnas här. Lösningen är till Prov 1 ver 4 (2013)