174 Dirac equation, Quantum Electro Dynamics Nobel Prize

Inledning

”Problemet” som jag i denna text ska beskriva och redogöra för är, som titeln antyder, den ekvation som fått benämningen The Dirac Equation (Diracekvationen på svenska) samt begreppet Quantum Electro Dynamics (Kvantelektrodynamik på svenska) och hur dessa influerade Feynman till att vinna nobelpriset i fysik 1965 tillsammans med Julian Schwinger och Sin-Itiro Tomonaga2.
För att uppnå förståelse för dessa begrepp måste man backa tillbaka några steg i ledet eftersom att Kvantelektrodynamiken bygger på kvantmekaniken, samt elektrodynamiken.
Utöver det så bygger Diracekvationen på Schrödingerekvationen på det sättet att denna är en omformning av Schrödingerekvationen, Diracekvationen är på så vis den relativistisk motsvarigheten till Schrödingerekvationen. Den tar även hänsyn till den speciella relativitetsteorin. 3
”Problemtypen” är i högsta grad inom ämnesområdet fysisk, och beskrivs med hjälp av matematiska modeller.

Det kunskaper som krävs för att förstå detta på en fundamental nivå är av väldigt hög grad. Jag kommer således ge en inblick i några av ovanstående begrepp och kvantelektrodynamikens fundamentala beståndsdelar i hopp om att stärka er förståelse och insikt kring huvudämnet i fråga som är Kvantelektrodynamik och Diracekvationen samt hur detta ledde till ett nobelpris.

Citat från boken som "beskriver" "problemet".

...Within a week I was in the cafeteria and some guy, fooling around, throws a plate in the air. As the plate went up in the air I saw it wobble, and I noticed the red medallion of Cornell on the plate going around. It was pretty obvious to me that the medallion went around faster than the wobbling. I had nothing to do, so I start to figure out the motion of the rotating plate. I discover that when the angle is very slight, the medallion rotates twice as fast as the wobble rate--two to one. It came out of a complicated equation! Then I thought, "Is there some way I can see in a more fundamental way, by looking at the forces or the dynamics, why it's two to one?" I don't remember how I did it, but I ultimately worked out what the motion of the mass particles is, and how all the accelerations balance to make it come out two to one. I still remember going to Hans Bethe and saying, "Hey, Hans! I noticed something interesting. Here the plate goes around so, and the reason it's two to one is . . ." and I showed him the accelerations.He says, "Feynman, that's pretty interesting, but what's the importance of it? Why are you doing it?" "Hah!" I say. "There's no importance whatsoever. I'm just doing it for the fun of it." His reaction didn't discourage me; I had made up my mind I was going to enjoy physics and do whatever I liked. I went on to work out equations of wobbles. Then I thought about how electron orbits start to move in relativity. Then there's the Dirac Equation in electrodynamics. And then quantum electrodynamics. And before I knew it (it was a very short time) I was "playing"--working, really-- with the same old problem that I loved so much, that I had stopped working on when I went to Los Alamos: my thesis-type problems; all those old-fashioned, wonderful things. It was effortless. It was easy to play with these things. It was like uncorking a bottle: Everything flowed out effortlessly. I almost tried to resist it! There was no importance to what I was doing, but ultimately there was. The diagrams and the whole business that I got the Nobel Prize for came from that piddling around with the wobbling plate.1

Kvantelektrodynamikens fundamentala beståndsdelar

Kvantmekaniken

Kvantmekaniken är på ett väldigt grundläggande plan, en fysikalisk teori för den konstruktion av naturlagar.
(En vetenskaplig regel som redogör för en process eller ett villkor i naturen, t ex: tyngdlagen samt tröghetslagen 4) som
har detekterats vid granskning av mikroskopiska system, förslagsvis: atomer, atomkärnor, elementarpartiklar och molekyler.
Prefixet ‘Kvant’ hänsyftar på den realia att bundna system såsom atomer bara kan förefinnas med
speciella predestinerade bindningsenergier.Betydelsen för kvantteorins applicering i praktiken har varit radikal.
Innovationer som kvantkemi, kärnkraft, laser och halvledarteknik har lagt fundamentet för den moderna elektroindustrin.5
Schrödingerekvationen som senare kommer blir diskuterad är baserad på kvantmekaniken.

Elektrodynamik

Den klassiska elektrodynamiken är ytterligare en fysikalisk teori som kvantelektrodymaniken bygger på.
Elektrodynamiken är en teoretisk del av elektromagnetismen. Den behandlar de elektromagnetiska krafterna mellan
elektriska laddningar och ström. Teorin bygger på James Clerk Maxwells arbete
som tillsammans med en rad andra fysiker under 1800-talet kom upp med en sammanställd
teori för elektrodynamiken. Ett volatilt (omväxlande i intensitet) elektromagnetiskt fält förflyttar sig ifrån
sin utgångspunkt i beskaffenheten av en våg i vakuum med hastigheten av ljusets. I praktiken har dessa
vågor applicerats och givit oss saker som t.ex. radio, mikrovågsugnar och röntgenstrålning.6

Den speciella relativitetsteorin

Den speciella relativitetsteorin skapades av Albert Einstein år 1905.
Den handlar om, på ett väldigt fundamentalt plan, hur saker som kommer upp i en hastighet som ligger nära ljusets uppför sig.
Enligt den speciella relativitetsteorin är ljusets hastighet konstant (ljuset har alltid samma hastighet).
Utöver det menar den att inga materiella objekt kan färdas snabbare än ljuset på grund av att massan
ändras vid höga hastigheter enligt formeln E=mc2 (Energin (E) är ekvivalent med massan (m) multiplicerat med ljusets hastighet (c) i kvadrat).
Detta implicerar att massan hos ett objekt är konstant relaterad till vilken energi och hastighet den erhåller.7
(Skillnaden mellan den Speciella relativitetsteorin och den Allmänna relativitsteorin är att den speciella relativitetsteorin endast beskriver förhållanden där man inte behöver ta hänsyn till gravitationen.)

Schrödingerekvationen - Diracekvationen

Schrödingerekvationen

I kvantmekaniken är Schrödingerekvationen en partiell differentialekvation (en differentialekvation för en funktion vars värde är beroende av fler variabler än en)
som beskriver hur ett kvantmekaniskt tillståndet (En samling matematiska variabler som fullständigt beskriver ett icke-relativistiskt kvantmekaniskt system)
av ett fysiskt system förändras med tiden.
Det var fysikern Erwin Schrödinger som formulerade ekvationen 1925.

Schrödingerekvationen ser ut som följande: (ekvationen för en ensam icke relativistisk partikel)

{Här saknas det en ekvation}

Där ħ är den reducerade Planck konstanten, Ψ är den tidsberoende vågfunktionen av x,y,z,t, m är partikelns massa
∇² är laplaceoperatorn,V är potentialen och Ȟ är Hamiltonianoperatorn.
Jag tänker inte ingående gå igenom betydelsen för dessa variabler eftersom
det ändå inte kommer resultera i ett förtydliganden av innebörden av ekvationen
för den icke insatte. Dessvärre misslyckades Schrödinger med att utforma sin ekvation
relativistisk och därför ger ekvationen endast approximativa lösningar.
Senare formulerades Diracekvationen med Schrödingerekvationen som grund, den förstnämnde ekvationen
uppnådde det Schrödinger misslyckades med och skapade således en relativistisk motsvarighet till Schrödingerekvationen

Diracekvationen

Diracekvationen är den kvantelektrodynamiska regeln som gäller för spin-½ partiklar och är
en relativistisk motsvarighet till Schrödingerekvationen.
Den är formulerad av fysikern Paul Dirac 1928.
Den förser en beskrivning av elementära spin-½ partiklar såsom elektroner.
Ekvationen är överensstämmande med teorierna gällande både kvantmekaniken så väl
som den speciella relativiteten. Ekvationen kräver existensen av antipartiklar som till
en början inte hade blivit experimentellt upptäckta. Med ekvationen upptäckte man positronen
som utöver sitt underhållande namn är elektronens antipartikel och anses vara en av de mest
betydelsefulla upptäckterna inom modern teoretisk fysik.
Ekvationen ser ut på följande vis: (med tre rumsdimensioner och en tidsdimension)

{Här saknas det oxå en ekvation}

där ħ är den reducerade Planck konstanten, c är ljusetshastighet,Ψ är vågfunktionen
m är partikelns massa, och ai (alltså a1, a2.....ai) är Dirac matriserna.
Jag tänker återigen inte gå igenom variablernas betydelse på ett mer ingående plan
eftersom det ändå inte komma resultera i en vidare förståelse av ekvationen för den icke insatte.

Kvantelektrodynamiken (QED)

Förklaring av Feynman Diagram och nyckeln till QED

Kvantelektrodynamiks principer var framtagna av tre fysiker, Richard P. Feynman, Julian Schwinger och Sin-Itiro Tomonaga. Kvantelektrodynamik är i sin enklaste form av extremt komplex karaktär.
Det handlar om, på ett väldigt fundamentalt plan, interaktionen mellan ljus och materia.
I diagrammet till höger ser du ett ”Feynman diagram” av två elektroner som närmar sig varandra.
De raka linjerna (på engelska propagators) motsvarar elektronerna. När de närmar sig varandra utbyts en foton mellan de två.
Det kurvade strecket motsvarar denna foton. Bilden visar alltså hur två partiklar kommunicerar med varandra och utbyter
elektromagnetisk information genom att emittera och absorbera fotoner. En foton som fungerar på detta sätt kallas
för en virtuell foton och är skapad i det enskilda syftet som är informationsbyte.
Detta anses vara nyckeln till Kvantelektrodynamiken eftersom innan Feynman diagrammet
som redogjorde för detta fanns det inget sätt att förklara hur informationen blev framför mellan två elektroner.
Det är med hjälp av diracekvationens lösning samt Klein-Gordon ekvationens lösning man kan beskriva
beteendet av elektronens och fotonernas sannolikhetsomfång.

Förklaring med liknelser

Kvantelektrodynamik är enligt min subjektiva åsikt enklast att förklara genom att föreställa sig att ljus är små kulor som flyger omkring.
Om man har ett gevär och avfyrar ett skott kommer skottet följa en förutsägbar trajektoria som beror på luftmotståndet och gravitation etc.
De kommer följa en relativt förutsägbar bana. Men dessa ”ljuskulor” vi nu ska prata om har det egentliga namnet fotoner och beter sig inte alls
på samma sätt som kulorna i det ovanstående exemplet. Om vi antar att vi har ett ”ljusgevär” som använder dessa ”ljuskulor” som ammunition och
skjuter iväg dessa kommer vi inte ha en aning om vad kulorna kommer göra härnäst. ”Ljuskulorna” eller fotoner som det faktiskt heter, har ingen bestämd trajektoria
eller bana de kommer färdas i. Det är omöjligt att göra en modell för hur fotonerna kommer att färdas. Istället har man konstruerat en fotondetektor som man
placerar en bit bort ifrån källan av fotonen, källan är i det här fallet, ”ljusgeväret”. Därefter kan vi kalkylera sannolikheten att fotonen kommer ta sig till fotondetektorn.
För att göra detta tar vi varje trajektoria som fotonen skulle kunna färdas i och ger den en representativ pil som färdas jämsides med fotonen.
Desto fler eventuella trajektorier, desto kortare är dessa pilar. Därefter får varje pil en riktning. De alla pilarna roterar i en cirkel. Rotationen motsvarar
våglängden av utstrålningen, desto kortare våglängd desto högre lågfrekvens och högre rotationshastighet på pilen. Pilarna fungerar som vektorer.
Om vi har 1000 eventuella trajektorier adderar vi samtliga trajektorier, om det har motsatt eller ungefär motsatt riktning tar de ut varandra
medan om det har samma eller ungefär samma riktning adderas de ihop. För att slutligen beräkna trovärdigheten för att fotonen ska ta sig från sin källa till
detektorn tar du summan av samtliga pilar(vektorer) och sätter värdet i kvadrat. Alltså, om vektorsumman av pilarna summeras till 0.4 är trovärdigheten
att den kommer ta sig till detektorn från sin ursprungskälla 0.42 = 0.16 = 16%.

Förklaring av ljusets "raka riktning" med QED's principer

Vidare applicering av kvantelektrodynamiken kan man förklara det fenomen om varför ljuset endast verkar röra sig i en rak riktning.
Om man har en ljuskälla och ställer sig framför den kommer objektet blockera ljuset från att nå fram. Men som jag tidigare förklarade
så finns det ingen konkret trajektoria som fotonen kommer att färdas i, detta förtydligas genom bilden visad till höger.
Vektorerna(pilarna) har olika riktningar vid olika tidpunkter eftersom det roterar.
Vid summering av dessa vektorer kommer man att se som bilden ovan visar att det flesta pilarna följer en
relativt rak trajektoria, och som tidigare konstaterat kan man beräkna fotonernas sannolika bana.
Det vill säga, det är inte omöjligt att ljuset skulle gå runt objektet som blockerar ljuskällan men det är inte sannolikt att den gör det.
Många kvantfältsteorier (fysikaliskt teori som applicerar kvantmekanik på fält) växer snabbt till ett oändligt värde ifall distansen blir för liten.
Men genom att kvantisera(att begränsa något från en kontinuerlig mängd av värden till en diskret mängd) elektromagnetismen som kvantelektrodynamiken
gör så lyckades Feynman, Schwinger och Tomonaga använda teorin trots de många oändligheterna.
Ändock om oändligheterna fortfarande var närvarande innebar den virtuella fotonen att elektronerna
inte behövde komma så nära varandra, detta reducerade mängden oändligheter.
Den matematiska process som går ut på att extrahera oändligheterna kallas för renormering.

Feynman, Schwinger och Tomonagas fundamentala och djupgående arbete inom kvanelektrodynamiken ledde till radikala konsekvenser för elementarpartikel fysiken. Det var detta och det tidigare nämnda Feynman diagrammen som var en grafisk representation av interaktionen mellan två olika partiklar som ledde till att det tre ovanstående fysikerna fick nobelpriset i fysik 1965.