Algebra Ma3C

Lektion 1 Geometriskt bevis

Ma3C: aktiviteten, sidan 57

Uppgift

Ni ska göra en ppt och förklara de fyra geometriska bevisen. Det kommer att vara CC och ni jobbar gruppvis två och tvås eller tre. Det kommer att publiceras. Ni börjar alla på papper och sedan gör ni ett som vi kommer överens om i presentationen. För att lyckas kan ni behöva läsa sidan 54 i boken eller gå tillbaks till Ma2C länk...

Exempel på förklarande ppt: Multiplikation genom uppdelning av talen

Här ska ni jobba alla tillsammans på en presentation i Google Drive.

Klicka och börja jobba här

Presentationen är för tillfälet stängd för redigering för att undvika klotter. --Håkan Elderstig 21 oktober 2012 kl. 12.25 (UTC)

Resultatet ser du här till vänster.

'

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!

'

Repetition -Algebra

Här kan du repetera kvadreringsreglerna genom at expandera fönstret nedan:

Första och andra kvadreringsreglerna

Kvadreringsreglerna är regler i algebran om hur man utvecklar uttrycken

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	(Första kvadreringsregeln)
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$	(Andra kvadreringsregeln)

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Förklaring

(a-b)² =  
(a-b)(a-b) =
a²-ab-ba+b² =          ( och ab = ba )
a²-2ab+b²                V.S.B.

Länkar:

Bondestam respektive Wille på Mattecentrum om kvadreringsregeln:

WolframAlpha Widget

Här kan du testa att låta datorn göra parentesmultiplikation:

Här kan du repetera konjugatregeln genom at expandera fönstret nedan:

Konjugatregeln

Ma2C: Konjugatregeln, sidan 22-24

Så här ser den ut:

a²-b² = (a-b)(a+b)

(a - b) \cdot (a + b)

= a^{2} + a \cdot b - a \cdot b - b^{2}

vi kan stryka ab - ba = ab - ab = 0:

= a^{2} - b^{2}

V.S.B.

Film

Bondestam (tv) respektive Matteboken (th) förklarar:

Geometriskt bevis av konjugatregeln

Första beviset

Andra beviset

Visualisering

  Här gäller:

  [math]\displaystyle{ (x-y)\cdot(x+y) = x^2 - y^2  }[/math]

  Denna är gjord med Geogebra, sparad som animerad gif, upladdad till WIKIMEDIA COMMONS och länkad hit.

  [math]\displaystyle{ (a - b)\cdot(a + b) = a^2 - b^2  }[/math]

Länk till filen

Uppgifter

Övningar (utan räknare)

  1. [math]\displaystyle{ 1992\cdot 2008 = ? }[/math]

  2.  Lös  [math]\displaystyle{ x^2-1=0 }[/math] för alla reella x.

  Tips : Använd konjugatregeln och nollregeln för ekvationen.

Öva på Khan: Khan: Parentesmultiplikation

Hunnet så här långt kan vi repetera genom att lösa lite uppgifter på Khan Academy. De är dels av typen (a+b)(c+d) men också sådana som tillämpar kvadreringsregeln.

Khan om hur man multiplicerar binom ska du verkligen öva på.

Webbmatte

Konjugatregeln på Webbmatte

Lektion 2 - Repetition potenser

Repetera avsnittet om potenser genom att expandera avsnittet nedan.

Ma3C: Sedan gör du uppgifterna i boken, sid 53-54., sidan {{{2}}}

Här kan du repetera potensreglerna genom at expandera fönstret nedan:

[redigera]

Mål för undervisningen Potenser

Du kommer att lära dig vad potenser är och de räkneregler som gäller för potenser.

Grundpotensform
Potenser
Rötter

En potens är ett uttryck som består av en bas och en exponent.

I sin enklaste form definierar vi potenser som resultatet av upprepad multiplikation.

Exempel
4³ (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.

Potenser underlättar hanteringen (bland annat multiplikation och division) av stora tal. Primtalsfaktorisering är en stor del i det, men när vi väl har våra faktorer ser vi att de har en tendens att återkomma, då snyggar potenser upp vårt uttryck.

När basen är 10 och exponenten är ett heltal kallar vi potensen för en tiopotens. Med tiopotenser kan vi beskriva storleksordningen av reella tal.

Potenser kommer även senare att bli vår koppling till logaritmer.

Potenslagarna

Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.

Några förklaringar ("bevis")

Viktigt

Vi kan förklara negativa exponenter (tredje exponentieringsregeln), $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

med ett exempel (inte ett formellt bevis)

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{a^{2}}{a^{5}} = a^{2 - 5} = a^{- 3}$

Man kan även visa nollregeln:

$1 = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n - n} = a^{0}$

Grundpotensform

Definition

Grundpotensform

Ett tal är skrivet på grundpotensform om:

$a \cdot 10^{n}, d ä r 1 \leq a < 10$

Grundpotensform är ett kompakt sätt att skriva tal som heltalsexponenter med 10 som bas. Formen används framför allt för att skriva tal som är mycket stora eller mycket små.

En regel är om man vill ta ut grundpotensen på 134 000 000, så förminskar vi talet så många gånger så att talet blir mellan 1 och 10. Du behöver nu multiplicera talet med ett tal som motsvarar hur många gånger mindre du gjorde talet, i det här fallet 100 000 000 = 10 upphöjt i 8. Svaret blir alltså 1,34 · 10⁸

10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1 000
10⁶ = 1 000 000
10⁹ = 1 000 000 000
10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000

10⁻¹ = 1/10 = 0,1
10⁻³ = 1/1 000 = 0,001
10⁻⁹ = 1/1 000 000 000 = 0,000000001

Genom att använda grundpotensform kan ett stort tal som 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 lättare skrivas som 1,56234·10²⁹, och ett litet tal som 0,0000000000234 kan skrivas som 2,34·10⁻¹¹.

Ett tal skrivet i grundpotensform kan delas upp i två delar, först siffervärdet, därefter tiopotensen. För att talet ska vara skrivet i grundpotensform krävs att siffervärdet är ett tal som är större än eller lika med 1 och mindre än 10.

De flesta kalkylatorer (miniräknare) och vissa datorprogram utelämnar bas-siffran 10 och använder bokstaven E (som i Exponent) istället, till exempel 1,56234 E29. Detta E ska inte förväxlas med talet e. Det finns även datorprogram (till exempel programmeringsspråket QBasic) som använder bokstaven D istället då man anger tal på dubbelprecisionsformat.

Wikipedia skriver om Grundpotensform

[redigera]

Kopiera texten till din dator och skriv rätt regel på strecket.

Förenkling	Skriv regeln
${(x^{3})}^{4} = x^{12}$	_______________________
$x^{0} = 1$	_______________________
2 + 3 * 4 = 14	_______________________
${(\frac{x}{y})}^{7} = \frac{x^{7}}{y^{7}}$	_______________________
$x^{2} \cdot x^{5} = x^{7}$	_______________________
${(x \cdot y)}^{19} = x^{19} \cdot y^{19}$	_______________________
$\frac{x^{5}}{x^{3}} = x^{2}$	_______________________

[redigera]

Programmeringsuppgift

Python-hjälp Fler uppgifter

Mål för undervisningen Kom igång med programmering i matematiken.

Målet är att du ska köra ditt första program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.

Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.

Gissa talet

Gissa talet är en programmeringsuppgift som passar perfekt in på detta område.

Uppgift

Gissa ett tal

Kör programmet tillsammans med en kompis.
Kör det flera gånger. Turas om att vara den som kör programmet och den som gissar. Notera hur många gissningar som behövs varje gång ni kör programmet.
Vilken strategi ger minst antal gissningar?
Finns det ett maximalt antal gissningar om man följer strategin?
Kan du uttrycka max antal gissningar matematiskt?
Hur kan du uttrycka maximala antalet gissningar som en funktion av intervallet talet ligger i?
Gå igenom programkoden och se om du förstår alla delar. Skriv ner de frågor du har om koden.

Python-koden

# förklarar syftet med spelet
print("Detta spel handlar om att din kamrat ska gissa det tal som du matar in. Skriv in kamratens gissningar och läs upp vad programmet säger. ")

# Ange ett tal
number = input("Ange ett hemligt tal mellan 1 - 100. ")

# använd heltal
number = int(number)

# räknare
guess = 0
count = 0

# räknare
while guess != number:

# gissa talet
    guess = input ("Skriv in talet (mellan 1-100) din kamrat gissar på: ")
    if guess == "exit":
        break
# räkna gissningar
    guess = int(guess)
    count += 1
       
# jämför gissning med tal
    if guess < number:
        print("Talet du angav ar mindre än mitt hemliga tal.")
    elif guess > number:
        print("Talet du angav är större än mitt hemliga tal.")
    else:
        print("Grattis! Du har gissat talet som jag tänkt på  (matat in).")
        print("Talet är:",number,)        
        print("Och det har tagit dig",count,"gissningar.")
        
# visar resultatet så länge vi vill 
input("Tryck Enter för att avsluta programmet")

Uppgiften är inspirerad av Attila Szabo, Utbildningsförvaltningen Stockholm.

Polynom, faktorer, rötter och nollställen

Ma3C: Här kan ni behöva repetera sidorna 56-65, sidan {{{2}}}

Om andragradspolynomet p(x) har nollställen x=a och x=b kan vi faktorisera polynomet till p(x) = k*(x-a)*(x-b) där k är koefficienten framför x^2-termen
Om ett andragradspolynom saknar nollställen, kan det inte faktoriseras!
Om ett andragradspolynom har ett enda nollställe, t.ex. dubbelroten x=a kan polynomet skrivas på formen p(x) = k*(x-a)*(x-a) = k*(x-a)^2

Hoppa över till senare: Det här är reptetion av tidigare stoff. Boken har en logisk sekvensiell uppbyggnad vilket kan bli tråkigt i längden. Ett alternativ är att gå rakt på de centrala delarna.En intressant möjlighet är att hitta en annan ingång till det nya centrala stoffet och istället repetera detta när behovet och motivationen finns.

Repetition från tidigare kurser

Ma1C - Potenser

Rationella uttryck

Ma3C: Rationella uttryck, sidan 66-78

Syfte

Vi ska bli nyfikna på rationella uttryck genom att undersöka hur de ser ut. Genom att beskriva dem övar vi språket. Detta ska sedan leda till en planering av vad och hur vi ska lära kommande lektioner.

Arbetsformer

Para ihop er med en elev från varje klass i grupper om två, så att det finns minst en dator i gruppen.

Här finns GeoGebra att ladda ner. Kicka på Webstart.

Uppgift

Testa ditt uttryck i GeoGebra. Fundera över varför grafen ser ut som den gör.

Beskriv grafen som bildas i GeoGebra med vanliga ord.

Varför ser den ut så?
Kommer grafen att skära y-axeln?
Kommer grafen att tangera y-axeln?
Kan x anta alla olika värden?
Motivera dina svar.
Försök hitta ett matematikord som är användbart. Ett tips är att titta lite i boken.

Redovisa: Skriv in din funktion och beskrivning här: Redovisa på Google

Mer

Andra exempel att prova i GeoGebra:

f(x)=3/x

h(x) = 0.1 / (x - 1)

g(x) = 1/x^2

f(x)= (2x^2+3x)/(x-4)

f(x) = sin(x) / x

Beter sig denna kurva på samma sätt som ditt uttryck? Varför/varför inte?

Planera

Sätt er nu med en annan grupp och diskutera vad man behöver lära sig för att kunna detta avsnitt, Rationella uttryck.

Faktorisering av rationella uttryck

Syfte:

Öva på snygga redovisningar av lösningar
Öva på faktorisering

Vi ska titta på varför grafen ser ut som den gör för ett rationell uttryck. Varför är t.ex. x/(x-2)^0.5 speciellt?
Repetera hur man faktoriserar andragradsfunktioner. Vi tar upp hur man gör på tredjegradsfunktioner. Vi faktoriserar 2x³-8x²+6x tillsammans och skriver steg för steg vad som händer.
Uppgift till eleverna: Faktorisera x⁴-2x³-15x². Lösa det på ett kladdpapper för att få ut rätt lösning, skriva sedan rent och steg för steg redovisa på ett papper hur ni tänker.
De som prova något mer får faktorisera det rationella uttrycket (x+2)/(x²+3x+1) och titta på vad uttrycket har för asymptoter.
Gå till förra lektionen på WikiSkola och titta på de andra rationella uttrycken i GeoGebra, de som ni inte tittade på sist.

Nyttan med Rationella funktioner

Genomgång med exempel från verkligheten

PPT:

Ellära

Rationella uttryck leder oss till gränsvärden som leder till derivatan som har många tillämpningar

Räkneövning med röda uppgifter

s. 65 uppgift 2234-2238

s. 68 s. 2316, 2318b och extrauppgiften 2331

Varför man inte kan dividera med noll

'

Flipped lesson: arbeta igenom innehållet till nästa lektion innan lektionen. Det vinner du på!

Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha

Nytt avgränsat stoff 1 -Absolutbelopp

Nytt avgränsat stoff 2 -Bryta ut -1

Lektion 5 - Programmeing

Javascript och spel Kod: CC By SA spelprogrammering.nu

Intro Javascript_och_spel

Bygga egna spelfigurer

Diskreta och kontinuerliga funktioner

cvnG0YWPLjQ

Algebra Ma3C

Lektion 1 Geometriskt bevis

Repetition -Algebra

Första och andra kvadreringsreglerna

WolframAlpha Widget

Konjugatregeln

Film

Geometriskt bevis av konjugatregeln

Uppgifter

Lektion 2 - Repetition potenser

Potenslagarna

Några förklaringar ("bevis")

Grundpotensform

Gissa talet

Python-koden

Öva potenser

GeoGebra

Exit ticket

Polynom, faktorer, rötter och nollställen

Repetition från tidigare kurser

Rationella uttryck

Syfte

Arbetsformer

Mer

Planera

Faktorisering av rationella uttryck

Nyttan med Rationella funktioner

Genomgång med exempel från verkligheten

Räkneövning med röda uppgifter

Varför man inte kan dividera med noll

Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha

Nytt avgränsat stoff 1 -Absolutbelopp

Nytt avgränsat stoff 2 -Bryta ut -1

Lektion 5 - Programmeing

Diskreta och kontinuerliga funktioner

Navigeringsmeny

Algebra Ma3C

Lektion 1 Geometriskt bevis

Repetition -Algebra

Första och andra kvadreringsreglerna

WolframAlpha Widget

Konjugatregeln

Film

Geometriskt bevis av konjugatregeln

Uppgifter

Lektion 2 - Repetition potenser

Potenslagarna

Några förklaringar ("bevis")

Grundpotensform

Polynom, faktorer, rötter och nollställen

Repetition från tidigare kurser

Rationella uttryck

Syfte

Arbetsformer

Mer

Planera

Faktorisering av rationella uttryck

Nyttan med Rationella funktioner

Genomgång med exempel från verkligheten

Räkneövning med röda uppgifter

Varför man inte kan dividera med noll

Förenkling genom faktorisering - Wolfram Alpha

Nytt avgränsat stoff 1 -Absolutbelopp

Nytt avgränsat stoff 2 -Bryta ut -1

Lektion 5 - Programmeing

Diskreta och kontinuerliga funktioner

Navigeringsmeny

Sök