Derivator

Derivatan

Introduktion till derivatan

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Introduktion till derivatan

Fler filmer:

• Extrempunkter
• Derivatans definition

Lutning och tangent

Tänk dig en fix punkt på en kurva och en rörlig punkt med koordinaterna . Linjen genom de två punkterna har lutningen:

[math]\displaystyle{ k = \frac{f(x) - f(3)}{x-3} }[/math]

Låt sedan [math]\displaystyle{ x }[/math] minska så att [math]\displaystyle{ x }[/math] närmar sig 3. Då kommer linjen att tangera kurvan i punkten [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]. Den linjen kallas för tangent.

<ggb_applet width="297" height="214" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIACG94UAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIACG94UAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVhZj9s2EH5OfsVAT0kb26RuB3aCbIGgATZJgU2Log8FaIm2mdVVifIR5Md3hpRkeTcxcqGosTZJcW7OfEPt4vkhz2An60aVxdLhU+aALJIyVcVm6bR6PYmd588eLjay3MhVLWBd1rnQS8cnSpXiJA3dhM3jiS+ZO/E9/IkTtp7MpS/kSrpzV8QOwKFRT4vyjchlU4lE3iRbmYvrMhHaKN5qXT2dzfb7/bRXNS3rzWyzWU0PTeoAmlk0S6ebPEVxZ0x7z5C7jPHZn6+vrfiJKhotikQ6QC606tnDB4u9KtJyD3uV6u3S8VjgwFaqzRZ98oLIgRkRVRiQSiZa7WSDrKOl8VnnlWPIREH7D+wMssEdB1K1U6mslw6bhmEQRF4UMX/OY+Z5DpS1koXuaHmnc9ZLW+yU3FuxNLNRdkCXZbYSJBE+fgSXuQye0MDt4OIQhnaL2WfMs4NrB98OgaXxLbtvSX1L41saH23cqUatMrl01iJrMIKqWNd4esO60cdMGnu6Byfv+RP0qVEfkJgHcwdsyHHB2BP6hvj1GbN+j5zkI626br9Saa/SnUdfrtL9Lke9QSfz7ut0g8+4GV5Qav3+Ej95wE46UZX5M997Gr1Lbt7VaNffpzD0/xMXF7O+VBZddUCzJdoue7TMG6oXbw7BnNKeQ4C1EUaY5QHwOQ6RC1gNwAPwA1zyGEIaI/Ai3PDBgxiIjntgiiOI8cePjLAQAhRGTyOsSeCoyIfAA25qygesJDB1iTXqekgRBBAgE6nnLonwQvBDXHkx+GgjlWTEkdBDRlyjehc8Dh4x8wjcEEKSx30q9TAm01GkCyGDkJNArGqsaFvNSB+DR96EXbhUUbX6LERJnvZTXVbDWSA14tEJ9Sw+nYHig0UmVjLDPnFDJwmwExlVhFG0LgsN/SGG9tmmFtVWJc2N1Bq5GngvduJaaHl4idRNr9vQJmXR/FaX+pcya/OiAUjKjA02lxkfzd3Balx4ow1/vBGMNsLRPPqk3hJ3oG0k6i/rpicXafqKKE7QgJF8W2THq1qK26pU524sZqblLGSbZCpVovgDk5W0UFyg70AGrvoOxOOwN6Ss05tjgxkMh79kXS6diRtN5+NPiH31aPdc7k3Z+EPIlAiqPn9+zoX97thtBQybuFEnd8OpiIM8ObipqZpHi1fNVZmdHhmffxGVbmtzYUC1NXnyothk0uSFqWbsxsntqjzc2ITwrKx3xwpXnQWrjYk1IB64Adq4IVBFFFkRCnRZRaYNVMzQMEPB+gxT6T0pxH0mBVPWmta5yns3OevVqMagGHO6WukRihKemntbKH3dL7RKbk+uEsObNl/JIW3OZfIfJXMxu5NXi1tZFzLr0hgPsy3bxlblKMNTmagcl3bD7ayj4/odDbBPU7mpZW94Zi5jNmBml40z9N5jI+plXeavit07zIU7BixmvZWLJqlVRTkHK4T+W3nKqlQ1AjtHOuajukPXE+oQGB5NocGKbPW2rM19C4EER0OZ56JIoTDN5mVbGB7nhH+C0a2Mw09w+PuR+xh+Boyx4CbUAtEksJ6Ure6p19b0TjKVdCZzvMGBNim87nX0p7k22ujYoFy9R8gcumq3fzoP3P9MSoPIqq0gU7vQZuIo67NgG3Gvy/T8CE4JrhFvb/FS2dgLZFdvZvKrSlNpeq3NJesQuXaoauSgMHfWvsBXggP2hkfeE1g/8h4/7kWZ6rfN4jwg3cbAfzkapyr5XDAMEnxrOEyiNnBAdKJ3liO95eCl9IN927HXfbKXwMkyBuOndzL8LFRnThdtLmuVDG5tjdvI2Xb8fOoxbkV/TzDGmcEvhuLtet1ITZ5j7zCeT7j7yVD1ZmX0zgK5KkycGSIi5OJApmOvEasG27HGdzdEh+L07mbt79oZXnwpysQTd+EOQpqs1WFU4li16gOilDhz+ZOZ617KXAIcxDODCtgsKxsUwHuKtGA7sFYYJNOjRlh0KeuvhqxHgNiazKfJV2f/1f8l+32TfnQg7jT253FIqx9QBed4e41HeAdrX1h0vboHq+IyrFI2DGES3wappvv/CFA9xXHCpvM+fMeuqsdXL9dElU3xjT+Mmdvfu6LgQo4Hl3Nc/lNYlsbeCVReZSpR+u5RzMZd0lxAu/+lPPsXUEsHCIMk2nBIBgAA6BEAAFBLAQIUABQACAAIACG94UDWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAIb3hQIMk2nBIBgAA6BEAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAADfBgAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Deriveringsregler

Derivatan av en funktion...

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen. [math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math] Eftersom andraderivatan är [math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math] så är [math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math]. Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math]. Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Exempel 1 - tryck

Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Khan-övningar

• Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut
• Öva derviering 1 på Khan

Derivataquiz

1 Derivatan av 2x³ är:

	x2
	3x2
	6x2
	x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

	Sannt.
	Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

	Sannt.
	Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.

Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?

Widget

{{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}}