Polynomfunktioner av högre grad

Det är en smula oklart vad skrivningen i centrala innehållet syftar på med orden Polynomfunktioner av högre grad (som vi inte redan behandlat) men det finns ett behov av att ta upp asymptoter samt fokusera rationella funktioner.

Teori

Uppgifter

Aktivitet

Lär mer

[redigera]

Rationella funktioner

I det förra avsnittet stötte vi på rationella uttryck, med vilket vi menar en kvot mellan två polynom. Nu ska vi titta på vad som händer om vi låter ett sådant rationellt uttryck ingå i en funktion, vad vi då kallar en rationell funktion.

Ett exempel på en rationell funktion är

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{x−1} }[/math]

Till skillnad från polynomfunktioner, som vi träffat på tidigare, är rationella funktioner som regel inte definierade för alla variabelvärden. Om vi till exempel tittar på den rationella funktionen ovan, så är det ju inte tillåtet att nämnaren x-1 antar värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat.

Det här för oss in på de båda begreppen definitionsmängd och värdemängd.

Definitionsmängden är de värden som en variabel som ingår i ett funktionsuttryck får anta. I vårt exempel ovan är variabeln x. Eftersom x-1 inte får vara noll, får x inte vara lika med 1. Därför är funktionens definitionsmängd alla reella tal förutom 1.

Texten från matteboken.se

Definition
Varje rationell funktion P(z)/Q(z) kan skrivas som ett icke-reducerbart bråk R(z) = P(z)/Q(z), där P(z) och Q(z) saknar gemensamma nollställen. Om P har graden m och Q har graden n, sägs graden av R(z) vara endera paret (m, n) eller talet m. En rationell funktions största definitionsmängd är mängden av alla värden för vilka Qn är nollskild.

Grafen för funktionen ovan

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{x−1} }[/math]

Asymptoter

I grafen för [math]\displaystyle{ f(x)=x+\tfrac{1}{x} }[/math], är både y-axeln (x = 0) och linjen y = x asymptoter.

Definition
Asymptot En asymptot är en rät linje (eller annan enkel kurva) som en funktion närmar sig allt mer när man närmar sig definitionsmängdens gränser eller vissa punkter i definitionsmängden.

Huvudsakliga användningsområdet är att approximera hur en funktion uppför sig i något område (vanligen då variabeln är mycket stor, det vill säga går mot oändligheten). Det här går vi närmare in på i avsnittet om gränsvärden.

Text från Wikipedia.

[redigera]

Ett

Bestäm definitionsmängden för

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{x+2}{x^2-25} }[/math]

Två

Lös ekvationen

[math]\displaystyle{ \frac{3x}{x-2} + x = \frac{6}{x-2} }[/math]

Tre

Förenkla uttrycken nedan:

[math]\displaystyle{ \frac{x}{x^2-9} + \frac{3}{x+3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{x^2+8x+16}{2x^2-32} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1-x^2}{(x-1)^2} }[/math]

Fyra

Använd GeoGebra för att studera några rationella funktioner, exempelvis:

[math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{x^2}{x−1} }[/math]

[redigera]

Gör de tre uppgifterna på matteboken.se

Sedan arbetar du vidare med valfria uppgifter.

[redigera]

Exit Card