Vi definierar och exemplifierar linjära funktioner och räta linjens ekvation.
Du lär dig hur man ritar grafer av funktioner och hur du beräknar k-värden och m-värden.
En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är k-formen:
där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör k linjens lutning och [math]\displaystyle{ m }[/math] hur många enheter som linjen är förskjuten från[origo.
Om [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math] har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om [math]\displaystyle{ k \lt 0 }[/math].
Om [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln.
Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra.
För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som [math]\displaystyle{ x }[/math] och [math]\displaystyle{ y }[/math] i ekvationen och se om vi får likhet.
Den här texten fanns där Wikipedia skriver om Linjär_ekvation
Vi har redan sagt att x och y är variabler. Beroende på värdet på x, så förändrats värdet på y (funktionsvärdet). Vad innebär då konstanterna k och m?
k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen.
Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, vilket innebär att funktionsvärdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln.
Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, att funktionsvärdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.
Om k = 0 så har kurvan en horisontell lutning och kurvan ligger därför parallellt med x-axeln. (Notera att om k = 0, så kommer inte funktionsvärdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln - funktionsvärdet kommer i det här fallet att vara detsamma, konstant, oavsett den oberoende variabelns värde.)
m kallas konstantterm eller även intercept och bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x = 0, alltså där linjen skär y-axeln.
Om m-värdet är positivt, så kommer linjen att skära y-axeln ovanför origo, och om m-värdet är negativt, så kommer skärningen att gå under origo. Om m = 0, så brukar man inte skriva ut något m-värde och då kommer linjen att gå genom origo (alltså punkten (0, 0)).
Texten från matteboken.se
Som vi skrev ovan betecknas lutningen på en rät linje som k, vilket även kallas för riktningskoefficient. Vi kommer nu gå igenom hur lutningen kan räknas ut.
Om vi vet två punkter på linjen, (x1,y1) och (x2,y2) kan vi med följande formel få fram lutningen:
Sätt in x = 0 i funktionen
så får du m-värdet.
De "räta-linjen"-funktioner som behandlas här är i strikt mening inte linjära funktioner.
En linjär funktion är en funktion f(x) som uppfyller följande två krav:
Där x och y är reella tal (eller element i ett godtyckligt vektorrum, funktioner eller operatorer).
Om en funktion inte uppfyller ovanstående krav kallas den en olinjär funktion, eller en icke-linjär funktion.
Problem som ger upphov till linjära funktioner är oftare enklare att lösa än de som ger upphov till olinjära funktioner. Därför lineariseras i praktiken gärna icke-linjära system, det vill säga de approximeras med ett linjärt system, så att de blir lättare att lösa.
Polynom av grad ett kallas också, något oegentligt, för linjära, trots att de inte behöver uppfylla ovan nämnda krav. Ett vanligt namn för de polynomen är affina funktioner. Orsaken till förbistringen är att den grafiska bilden av en affin funktion alltid är en rät linje, medan bara de räta linjer som går genom origo representerar linjära funktioner enligt definitionen - "addition av x-värden ger adderat funktionsvärde".
Funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x + 3 }[/math] är en räta-linjenfunktion och kallas ofta linjär funktion i Matematik 1-kurser. Den uppfyller dock inte kraven för att vara en linjär funktion, ovan. Exempelvis är [math]\displaystyle{ f(2x) = 2x + 3 }[/math] men det är inte lika med [math]\displaystyle{ 2 f(x) = 2x + 6 }[/math]
Nedan ser du några exempel på polynomekvationer av grad ett.
En glasskiosk säljer strutglass till följande priser:
Lösning: ... TBD ...
Till höger ser du tre grafiska representationer av linjära ekvationer.
Diskutera hur man kan läsa av k- och m-värdena för linjerna.
Filen finns på GeoGebraTube.org och heter Ma2C exempel sid 206 linjära funktioner
En GeoGebra som förklarar det på ett (över)tydligt sätt:
När du hittat k-värdet till din linjära funktion behöver du bara sätta in koordinaterna till en punkt i din ekvation och lösa ut m.
Räkna i Gleerups eller Kunskapsmatrisen.
Filen är en översättning av en amerkiansk GGB. Min version finns på GeoGebraTube och heter Räta linjen k och m-värden.
Skriv in en egen funktion med glidare för k och m i GeoGebra.
Leta rätt på knappen för att visa k-värdet som en triangel på grafen.
Du kan testa dig själv med denna GeoGebraövning.
Undersök med Geogebra-applet: Interaktiv övning
Skissa grafen på tavlan och förklara hur du tänker. Sedan visar vi grafen och du ser om du skissat rätt.
Därefter kan vi slå på alla grafer och sex personer kommer fram och drar streck från sin graf till funktionen till vänster.
Uppgiftsblad i canvas: Öva linjära funktioner
Linjär funktion - formell beskrivning.
Några elever programmerade denna övning i Javascript. Du kan säkert göra något ännu bättre. Visa oss i så fall.
Räta linjen by TE12A
Instruktion till kodupgiften finns här: Räta linjen med Javascript.