Du kommer att lära dig om primtal, sammansatta tal och primtalsfaktorer. Du kommer att kunna primtalsfaktorisera.
Alla positiva tal är uppbyggda av primtal (minst ett). Man kan dela upp dem i faktorer som är primtal. Primtal är bara delbara med ett och sig själva. (positiva tal)
Ett primtal är ett naturligt tal, som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt.
När vi tittar på våra naturliga tal (alla heltal från 1, dvs. n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) så kan vi dela in dem i två grupper; Primtal, och sammansatta tal.
Våra sammansatta tal är alla tal vi kan skriva som en produkt av flera primtal. 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 15 = 3 ⋅ 5 Primtalen kan vi dock endast skriva med hjälp av primtalet självt och med 1. 3 = 1 ⋅ 3 7 = 1 ⋅ 7
1 är varken ett sammansatt tal eller ett primtal, utan är något som vi kallar för enhetselement (mer om det kommer inom den diskreta matematiken, framförallt på universitetet). Kort så är det ett tal som lämnar andra tal oförändrade under multiplikation.
De naturliga talen kan alltså delas in i: Enhetselementet: 1 Primtal: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Sammansatta tal: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...
Ordet prim kommer från latinets primus och betyder 'först'. Primtalen kan alltså ses som våra första tal, talen vi bygger upp alla andra tal med hjälp utav. Det finns oändligt många primtal, något som den grekiske matematikerna Euklides visade redan 300-talet fvt (före vår tideräkning).
Vi vill nu primtalsfaktorisera talet 1092. Vi vill alltså skriva om talet i faktorer, tills dess att vi endast har primtal kvar. Stega genom våra primtal och kontrollera om det ingår i vårt tal, 1092. För att ta reda på det, måste vi kontrollera om 1092 är delbart med primtalet. Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Ja, talet är jämnt. 1092 / 2 = 546 Vi kan alltså utföra faktoriseringen 1092 = 2 ⋅ 542
Kan vi faktorisera 546? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Ja, talet är jämnt. 546 / 2 = 273 546 = 2 ⋅ 273 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 273
Kan vi faktorisera 273? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt. Går vidare till nästa primtal, 3. Delbart med 3? Ja, siffersumman är delbar med 3 (siffersumman för 273 är 2+7+3 = 12, och 12 är delbart med 3) 273 / 3 = 91 273 = 3 ⋅ 91 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 91
Kan vi faktorisera 91? Börjar med vårt minsta primtal, 2. Delbart med 2? Nej, talet är ojämnt. Går vidare till nästa primtal, 3. Delbart med 3? Nej, siffersumman måste vara delbar med 3 (9+1 = 10, 10 / 3 = 3,3333...). Går vidare till nästa primtal, 5. Delbart med 5? Nej, talet måste sluta med en 0:a eller 5:a. Går vidare till nästa primtal, 7. Delbart med 7? Här har vi ingen snabb regel, utan får testa med kortdivision eller liggande stolen (eller miniräknare). 91 / 7 = 13 (Med kortdivision: 7 går i 9 en gång, 2 i rest, 7 går i 21 tre gånger, ingen rest) 91= 7 ⋅ 13 Skriver om till 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13
Kan vi faktorisera 13? Nej, 13 är ett primtal.
Vi väljer alltså att skriva om vårt stora tal, 1092, i dess primtalsfaktorer 1092 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 Nu kan vi mycket lättare hantera talet när vi behöver jämföra det med andra tal.
Ett helt tal är delbart med
Denna lista kommer från denna sida
Primtalsorm (3-5 min)
Alla står upp Läraren säger ett tal till första eleven som svarar ja eller nej på frågan om det är ett primtal. Fel svar betyder man får sätta sig ner.
Diskussion: Hur vet man om det är ett primtal?
Python-hjälp
Målet är att du ska köra enkla färdiga program för att utföra matematiska beräkningar. Du bör testa att modifiera algoritmen så att dina beräkningar blir mer effektiva.
Målet är inte att du ska lära dig programmering på matematiklektionen men det är oundvikligt att du ändå lär dig lite Python-kod.
Man kan antingen använda programmet som intro till en lektion om primtal i Ma1c. Det tar inte många minuter men vänjer eleverna vid att köra program.
Eller så arbetar man med att undersöka och förbättra algoritmen vilket tar betydligt mer tid.
Vi använder en funktion som testar om tal är ett primtal. Resten av koden är för inmatning och utmatning av resultatet.
def prime(input): for n in range(2, input): if input % n == 0: return False return True tal = int(input("Ange ett tal ")) if (prime(tal) == True): print(tal, " är ett primtal") else: print(tal, " är inte ett primtal")
För att förbättra algoritmen, se diskussionssidan.
Kalkylprogram. Pröva gärna att använda Excel för att undersöka om ett tal är ett primtal.
Datorövning. Lär dig mer om ett tal genom WolframAlpha. Du ser bland annat hur talet delas upp i faktorer. Skriv bara talet på raden och klicka enter.
Datorövninga från matteva. Delbarhetsreglerna
Blir det glesare mellan primtalen om man tittar på riktigt stora tal?
Exit ticket: Primtal