Primitiva funktioner
Intro - Primitiva funktionen
| Uppgift |
|---|
| Gissa och öva på primitiva funktioner.
Fundera över det inversa sambandet, d v s hur man går från funktion till primitiv funktion och vice versa. Öva på OlleH |
| Definition |
|---|
| Primitiva funktioner
|
Primitiva funktioner
Läs vad Wikipedia skriver om Primitiv_funktion:
| [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] funktion |
[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] primitiv funktion |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ k }[/math] | [math]\displaystyle{ kx + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ x^n ~~~ (n \ne -1) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac{1}{x} }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln{|x|} + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ e^x }[/math] | [math]\displaystyle{ e^x + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ a^x ~~~ (a \gt 0, a \ne 1) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{a^x}{\ln a} + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math] | [math]\displaystyle{ - \cos (x) + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math] | [math]\displaystyle{ \sin (x) + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{a^2+x^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \arcsin\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] |
| k och C är reella konstanter. | |
Inom matematisk analys är en funktion F(x) en primitiv funktion till f(x) om funktionen f är dess derivata, det vill säga om F '(x)=f(x).
Andra benämningar av primitiv funktion är antiderivata eller obestämd integral. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.
Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f. Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C.
Exempel: Alla primitiva funktioner till
- [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]
kan skrivas
- [math]\displaystyle{ F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C }[/math]
där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.
Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f.
Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.
I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.