Kleindagarna 2012
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg/200px-Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley%27s_first_English_version_of_Euclid%27s_Elements%2C_1570_%28560x900%29.jpg)
Syfte
Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från Kleindagarna 2012 som arrangerades av Svenska kommittén för matematikutbildning på Institut Mittag-Leffler. Kleindagarna stöds även av Nationalkommittén för matematik och Mattebron
Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: (länk till tidigare version).
Lektionerna från förra året finns här på SKM. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva vinjetter.
De fem E:na
Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar.
- Engage
- Explore
- Explain
- Elaborate
- Evaluate
Lektion 1 - Grupper
Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin
Begrepp
- Kommutativ
- Associativ
Läs mer om grupper
Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor
Garfaen för y2=x3-x+1 visas nedan:
<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0
Genomförande
Kurs 3C
Facebook – gemensamma vänner
- Operation – Symbol – träd (engage)
- 2 objekt
- Andra operationer
- De fyra räknesätten
- Kanske förslag på sinus, roten ur
- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten
- Undersök kommutativitet
Tal Allmännt
3+4=4+3 a+b =b+a
3-14 inte = 4-3
Sen undersöka Associativitet
(3/4)/5 = 3/(4/5) ?
Utvecklade binära operationer
(a+b)^2
Rot(ab)
Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, …
Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ.
Tal allmänt
Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika.
Avsluta med att visa lösningarna på tavlan.
Sedan åter till gemensamm fb-vänner
Konstatera att de är både komm och ass
Hemläxa att eleverna hittar på egen operation
Lektionstips 1 - Abstrakt algebra
Tolka definitioner
Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion
Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen
Obs olika representationer.
Konkreta exempel behövs.
Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.
Lektionstips 2 - Abstrakt algebra
Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner
Nollan, ettan och oändligheten.
- 1/[math]\displaystyle{ \infty }[/math]
- 1/0
- [math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]
logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel
inversa funktioner
Sjöfarten, logaritmtabeller
Laboration: mäta solhöjden
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Marine_sextant.svg/langsv-300px-Marine_sextant.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Using_sextant_swing.gif/300px-Using_sextant_swing.gif)
Håkans sätt introducera logaritmer:
Nu vill vi introducera logaritmen på ett behovsbaserat sätt
alt simulering eller sextantsapp
Ma2C, Ma3B
Man går från R+ med multiplikation till addition
Sextant, mäta solhöjden, beräkna positionen, utan räknare ger behov av multiplikation av tal med många siffror
Behov: Modell sol, solhöjd
Introducera logaritmtabeller
Ger breddgraden. Longituden får man genom att räkan på sträcak tid. Krongrafen
Hur få alla i gruppen att delta?
Filmen longituden
Analogi: triangulering satelliter, GPS.
Vilken multiplikation är det? Är det typ sinussatsen? Sfäriska trianglar...
Ulrihca berättar
Sextantmätningen ger vinkel f solhöjd samt bäring (vinkel)
Latituden ges av tabellen
Begränsa oss till att mäta och räkna ut latituden.
Grupp4 fm fre
Kurs 1
Undersöka. Vilka är sanna?
Alla stämmer någon gång men inte alltid.
- a+b = b+a
- a-b = b-a
- ab = ba
- a/b = b/a
Hitta geometriska förklaringar
På samma sätt: distributiva, associoiativa
a/(b+c) = a/b + a/c
Dela en kaka i elevantalet. Sen kommer eleverna sent. Hur gör man då?
Uppgift: Hitta på en egen operation och kolla om det gäller.
Skulle kunna vara att personerna A och B jämför sina FB-kompisar. Sedan A och C. Vad säger det om B och C?
Det finns oändligt många räkneregler som är sanna någon gång.
Kurs 2 Repetition i samband med algebra.
Uppslag
Explore
Finn fem fel
- Första kvadreringsfelet: (a+b)2 = a2 + b2
- Andra kvadreringsfelet (2a)2 = 2a2
Vilka räkneregler finns det som är användbara?
Evaluate
Skriv sanning på formelblad
Magnus föredrag
Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.
Centrala gränsvärdessatsen förklarar detta.
Ladislaus von Bortkiewicz
Antalet preussiska kavallerister ihjälsparkade av sin hästar.
Antal dödsfall, antal pro
- 0 109 0.545
- 1 65 0.325
- 2 22 0.11
- 3 3 0.015
- 4 1 0.005
Användbart på gymn
Sannolikhetsträd för kasta krona
p2 | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)2
Hur kommer det sig att [math]\displaystyle{ \pi }[/math] och [math]\displaystyle{ e }[/math] dyker upp hela tiden?
Possionfördelning
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Poisson_distribution_PMF.png/300px-Poisson_distribution_PMF.png)
Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om [math]\displaystyle{ n }[/math] är stort och [math]\displaystyle{ p }[/math] är litet (tumregel: om [math]\displaystyle{ p \lt 0.1 }[/math] kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där [math]\displaystyle{ m=np }[/math]), där n = antalet försök och p = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är
- [math]\displaystyle{ {P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}. }[/math]
Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se
Gränsvärdessatsen
Centrala gränsvärdessatsen på sv WP. Sidan behöver utökas...
Normalförelningen
Normalfördelningen har täthetsfunktionen
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/300px-Normal_distribution_pdf.png)
- [math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],
där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].
Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs mer
Qlucore
Företaget Qlucore
NCBI har fria data som man kan använda
Läs Nature och testa.
Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.
Stora datamängder: Helgenomundersökningar (3 109 baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.
Grupp 1 på fre em
Lösa tankar
Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.
börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)
Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.
Samla in data med sensorer
Boktips: Euler, The Master of us all
Excel övning: pi2/6
Grupp 2
Fotboll, antal mål? Fotbollsstatistik
Handboll?
Olika data, samma fördelning? Labba med Geogebra.
Titta på andra datamängder som FB-vänner.
Grupp 3
Serie: Jelly Beans
Elever kikar på tidningsartiklar som refererar "vetenskapliga" studier.
Upptäck att det är svårt att hitta källor.
Plan över vetenskaplig studie.
Sedan bedöma varandras planer. Respons i Voice Thread.
Grupp 4
Lönestatistik på kommunal skola. Genusfråga. Eleverna bearbetar. Eleverna tar kanske medelvärdet.
Problematisera: man-kvinna, utbildningsnivå, undervisande ämnen, ålder.
SIRIS i Gapminder
Lektionsförslag - Strecket
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Pen_stroke_with_gel_refill.jpg/300px-Pen_stroke_with_gel_refill.jpg)
Engage
Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik.
Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper.
Kommentar: Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till.
Explore - Explain
Det kommer att växla mellan Explore - Explain.
Dra ett rakt streck på ett papper.
- A4-papper.
- Varje elev drar ett streck
- Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna
- Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur.
- Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar
- Kön (det enda eleverna behöver skriva
- Längden
- Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde
- Hitogram. för att åskådliggöra.
- Sortera efter längd
- Histogram. Indelat i klasser.
- GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser.
- Länkar, boken.
- MalinC om normalfördelningen
- Titta om det är någon skillnad på kön
- Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer.
- Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass.
- Tror vi att det är normalfördelat.
- Vilket är det normalaste strecket?
Explain
Att diskutera utifrån materialet
- Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse.
- Vad innebär normalfördelning?
Elaborate
Titta i nationella data.
T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.
Tävling: Närmast väntevärdet vinner.
Evaluate
Rapportera in till SKM
- Program
- Län (skolans)
Jana Madjarovas geometriföreläsning
Lektionstips och idéer - Geometri
- Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel?
- Läxförhör på definitioner
- Formulera satser
- Bevisa Pythagoras omvändelse
- Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem.
- Genomgång: Komplettering. Strukturera.
- Återkoppla i senare undervisning.
- Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift.
- Rita gissa spring?
- Etymologi.
Lektion Geometri - Linjen och cirkeln
Kurs Ma1C, Ma2B
Problematisera det uppenbara att en rät linje bara kan skära cirkeln i max två punkter.
Dubbelt onödigt enligt elever.
Men nödvändigt öva att argumentera.
Varför är det nödvändigt att argumentera och bevisa saker?
Finns det något som är enklare och mer relevant.
Praktiskt: ställ tre elever på en cirkel och fråga om de kan befinna sig på en rät linje.
Man måste börja med postulaten, dvs vad vet vi från början. Definitionen av cirkeln. Börja prata om det? Och vad är en rät linje.
Explore: På hur många olika sätt kan man dra en rät linje i förhållande till en cirkel?
Leder till att definiera cirkel, rät linje, mittpunkt, rät vinkel, radie, diameter.
Hur vet vi att det inte finns tre skärningspunkter.
Arbete i grupper. Utan passare och linjal.
Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.
Sedan fästa blicken på att man använder basvinkelsatsen.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Triangel-liksidig-likbent.svg/langsv-350px-Triangel-liksidig-likbent.svg.png)
Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.
Dataspelskoppling: hur ritar man en cirkel i GGb? Hur kan man cva säker på att det alltid blir en cirkel utifrån tre punkter? Å i så fall kan det inte vara en rät linje som går igenom punkterna på cirkeln. Sedan dessutom titta på hur en cirkel skapas i javascript.
Dataspelsingång: Du har tre motståndare som står på en cirkel. Du står utanför cirkeln. Kan du skjuta alla tre motståndare med ett skott.
Explain: Basvinkelsatsen.
Expand: Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller?
Lektionstips geometri - knyt ekvivalens mm till geometriska objekt
Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning.
Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat.
Spel som parar ihop olika egenskaper.
Koppla ihop ekvivalens och implikationen med Koppla ihop påståenden med figur.
Ex
Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar. Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta.
Grupp 4
Förkunskaper
Gruppaktiviteter efter att man gjort randvinkelsatsen. Använder även yttervinkelsatsen och basvinkelsatsen.
Gruppuppgifter
Det finska felaktiga problemet. Rita och beräkan.
Ett andra är den inskrivna fyrhörningen. (sax)
Klassiker. De omöjliga trianglarna. (areorna som inte stämmer) eller något liknande.
Konstruera en triangel med omkretsen O = b cm och A = b cm2.
Explain
Bevisa det som går och prata om det som inte går.
Använd papper och penna och linjal eller GGB.
Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika
MKT-koceptet: [http://www.math.ksu.edu/~bennett/onlinehw/qcenter/ballmkt.pdf Deborah Loewenberg Ball, Mark Hoover Thames, Geoffrey Phelps, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special]. Äggfiguren finns på sid 403
Lärarens kunskaper är en nyckelfaktor
Vilka kunskaper behöver en lärare för att undervisa matematik
Hur kan lärares kunskaper beskrivas?
Ett exempel från Kina
Antag att 4/x + 1/y = 1
Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker.
Matematisk vigör. Läraren bra på många olika lösningar. kinesiska lärare bra på att planera lektioner.
<ggb_applet width="397" height="446" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Tivolifysik
Telefon-app: AccelGraph.
Centrepital ac = v2/r
Whiplash, klotoider, Euler
Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor)
Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström.
Grupp 1 om tivolifysik
Kurvor former och vektorer.
Fyra myror går från varsit hörn, vinkelrätt mot varandra så att det bildas en spiral.
Eleverna går och upplever och sedan mäter de.
Eller tekoppen på ett roterande fat. Simulera i GGB.
Grupp 2 om tivolifysik
Begreppet derivata från vt-graf av Balder till at-graf.
Givet en graf. Hur ser åkturen ut?
Grupp 3 om tivolifysik
Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cykloider.
Engage: ?
Explore: Rund pappskiva på tavlan med penna och rita på papper. Lägga ut snöre och mäta banans längd. Inse att den är ungefär 8r. Leta på nätet och hitta formel.
Punkten på skivan kan även sitta en bit in. Undersök.
Även filma ett cykelhjul och ta fram cykloidkurvan i datorn.
Explain
- http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid
- http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=cycloid
- [ http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D2%28t-sint%29%2C+y%3D2%281-cost%29 WolframAlpha]
- Se även http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem
Funktion: x=arccos(1-y)-(y-y^2)^.5
Explore: tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden.
Expand: Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare.
Exempel: Pear-shaped Quartic
<ggb_applet width="421" height="435" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
Lektion 2 - Strecket
- Inledning, dra streck
- Excel, lärare
- Median, medelv, Typvärde
- Visualisera
- osorterat
- sorterat. platå innebär kanske norm fördeln
- Elever + lärare histogram. Typvärde ointressant
- Slutrsats at måste ha mer data
- dels på egna skolan
- dels från andra skolor som finns på nätet
- Utvidga. Hur stor procent skulle dra kortare än 7 cm? Kan man komma med en hypotes fr materialet och testa den?
Lektion 3 -Randvinkelsatsen
Geometri 2b/2C Randvinkelsatsen 1 Undersöka trianglar. Konstruera rätvinkliga trianglar med given bas och höjd. 2
Se vidare anteckningar på papper
Lektion 4 - Myror
Program
Myror och rörelser 1
1 a Gissa vägen, skissa
b Gissa längden
2 Myror på roterande skiva
Bestäm vägen och längden av vägen. Tre olika avstånd från centrum.
3 Hur ser myrans väg ut om myran rör sig in mot centrum under rotation av skivan
4 Explain/explore
Uttrycka läget som sinus och cosinus. Sätt axlarna, gränserna på + - 1.
Matlab eller liknande program
Elaborate: Res skivan upp och rulla. Hur rör sig myran nu?
Myror och rörelse 2
1 Läge att introducera enhetscirkel och polära koordinater
Nu slutför man beräkningarna av längden från upp 1 i första lektionen. Pythagoras sats används för att beräkna.
2 Cykloiden.