Formelsamling matematik

Den här formelsamlingen kommer från Wikibooks. Formelsamlingen behöver förenklas genom att några delar tas bort så att eleverna känner igen sig.

Räknelagar

[math]\displaystyle{ a+b=b+a\,\! }[/math]	(kommutativa lagen under addition)
[math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a\,\! }[/math]	(kommutativa lagen under multiplikation)
[math]\displaystyle{ (a+b)+c=a+(b+c)\,\! }[/math]	(associativa lagen under addition)
[math]\displaystyle{ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\,\! }[/math]	(associativa lagen under multiplikation)
[math]\displaystyle{ a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\! }[/math]	(distributiva lagen)
[math]\displaystyle{ a+c=b+c \ \Leftrightarrow \ a=b\,\! }[/math]	(annulleringslagen under addition)
[math]\displaystyle{ a \cdot c=b \cdot c \ \Leftrightarrow \ a=b \quad om \ c\ne 0\,\! }[/math]	(annulleringslagen under multiplikation)

Bråkregler

[math]\displaystyle{ a\cdot \frac{b}{c}=\frac{a}{1} \cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c} }[/math]	[math]\displaystyle{ c\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} }[/math]	[math]\displaystyle{ b\neq 0, d\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b}\Big/\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} }[/math]	[math]\displaystyle{ b\neq 0, c\neq 0, d\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd} }[/math]	[math]\displaystyle{ b\neq 0, d\neq 0 }[/math]

Parentesregler

[math]\displaystyle{ a+(-b)=a-b\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ a \cdot b=ab\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ a-(-b)=a+b\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ a \cdot (-b)=a(-b)=-ab\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ (-a) \cdot (-b)=(-a)(-b)=ab\,\! }[/math]

Algebra

Låt [math]\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{R} }[/math] och [math]\displaystyle{ m,n\in \mathbb{Z} }[/math].

[math]\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\! }[/math]	(första kvadreringsregeln)
[math]\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\! }[/math]	(andra kvadreringsregeln)
[math]\displaystyle{ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\,\! }[/math]	(konjugatregeln)
[math]\displaystyle{ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ n! = (1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n) = \prod_{k=1}^n k }[/math]	(fakultet)
[math]\displaystyle{ (a+b)^n= \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}b^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} a^{n-k}b^k }[/math]	(binomialteoremet)
[math]\displaystyle{ (a_1+a_2+...+a_m)^n= \sum_{k_1+k_2+...+k_m=n}^{} \frac{n!}{{k_1}!{k_2}! ... {k_m}!} a_1^{k_1}a_2^{k_2} ... a_m^{k_m} }[/math]	(multinomialteoremet)

Kvadratkomplettering

[math]\displaystyle{ x^2 + px = x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 = (x - \frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 }[/math]

Förstagradsekvationen

[math]\displaystyle{ ax+b=0\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ a \ne 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ x=- \frac {b}{a}\,\! }[/math]

Andragradsekvationen

Rötterna till andragradsekvationen på formen [math]\displaystyle{ x^2+px+q=0 }[/math] ges av:

[math]\displaystyle{ x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \quad och \quad x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} }[/math]

då gäller

[math]\displaystyle{ x_1 + x_2 = -p\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 = q\,\! }[/math]

Kvadratrötter

För [math]\displaystyle{ a\ge 0,\ b \ge 0,\ c \gt 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sqrt {a} \cdot \sqrt{a}=a\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt {a} \cdot \sqrt{b}= \sqrt {ab}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ b \sqrt {a}= \sqrt {b^2 a}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {\sqrt {a}}{\sqrt {c}}= \sqrt{\frac {a}{c}}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {a}{\sqrt {c}}= \frac {a \sqrt {c}}{c}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{a}{c}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{c}}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[nq]{a^{mq}}=\sqrt[n]{a^m}\,\! }[/math]

Potensregler

[math]\displaystyle{ 1^n=1\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^1 =a\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^0=1\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ a \ne 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ a \ne 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{1/2}= \sqrt{a}\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{m/n}=(a^m)^{1/n}= \sqrt[n]{a^m}\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ m,\ n\ \gt 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^m \cdot a^n=a^{m+n}\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ a \ne 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ (ab)^m = a^m\cdot b^m\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( \frac{a}{b} \right)^m=\frac{a^m}{b^m}\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ b \ne 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ (a^m)^n=a^{m\cdot n}=(a^n)^m\,\! }[/math]

Logaritmer

För [math]\displaystyle{ y\gt 0,\ a\gt 0,\ a\ne 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ y=10^x\Leftrightarrow x=\log_{10}\ y=\lg\ y\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ y=a^x\Leftrightarrow x=\log_{a}\ y\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ y=e^x\Leftrightarrow x=\ln\ y\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln\ y=\ln\ 10\cdot \lg\ y\approx 2,3026\ \lg\ y\,\! }[/math]

[math]\displaystyle{ \lg\ y=\lg\ e\cdot \ln\ y\approx 0,4343\ \ln\ y\,\! }[/math]

Logaritmlagar

[math]\displaystyle{ a^{\log_a x}=x\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \log (ab)=\log a+\log b\,\! }[/math]	[math]\displaystyle{ a\gt 0\ och\ b\gt 0\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \log \frac{a}{b}=\log a-\log b\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_a a^n=n\log a\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_a\sqrt[n]{a}=\frac{1}{n}\log a\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{\frac{\log b}{\log a}}=b\,\! }[/math]