Funktioner 2C

kan du rita en sån här? <ggb_applet width="681" height="450" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Funktion och graf

s 146

f(x)

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd

Värdemängd

Andragradsfunktioner

Parabelns ekvation

Brännpunkt

Styrlinje

Malin C GGB-övning

Andragradsfunktionens graf

Parábola con foco y directriz

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x²-termen betyder minimipunkt

negativt före x²-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

Kvadratiska modeller

y(x) = ax² + bx + c

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C.

Överkurs: Andra kägelsnitt Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.

Överbliven provupgift (svår)

Parabolic trajectory

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen y(x) = ax² + bx + c

Gör en matematisk modell av kastbanan.

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner

y = Ca^x

växande a > 1

avtagande a < 1

skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

Logaritmer och funktionen y = 10^x

Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

a = b^x

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.

Texten ovan från Wikipedia

Vad är logaritmer?

Graf över tiologaritmen

Ett praktiskt val av bas när man använder den decimala notationen är (10-logaritmen): den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a:

a = 10^x <==> x = log₁₀a

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

Räkneregler för logaritmer

Sats: Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

Sats: Division

lg (a/b) = lg a - lg b

Sats: Potensräkning

 lg ap = p lg a

Fler funktioner

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg x

y = x^0.5 (roten ur x)