Geometriska satser och bevis ma1c

Mål för undervisningen

I denna lektion definierar vi viktiga begrepp och presenterar några användbara satser som gäller vinklar.

Du kommer att ha nytta av detta vid problemlösning och kommande områden i matematiken. Men dessa begrepp står inte inskrivna i centrala innehållet.

Det finns en del definitioner och satser som gäller vinklar och vinkelsummor. De är nödvändiga att känna till vid problemlösning och de underlättar vid kommunikation om matematik.

Definition

Definitioner och begrepp som har med vinklar att göra

En rak vinkel är 180^o

En normal är en linje som skär en given linje eller kurva i rät vinkel. "Rätvinklig mot" betecknas ⊥

En  bisektris till en vinkel ABC är en stråle från B genom en punkt D sådan att vinkeln ABD  = vinkel DBC. En bisektris delar en vinkel i två lika delar (bisektris betyder "dela i två delar"). En vinkel har endast en bisektris. Varje punkt på en vinkels bisektris har samma avstånd till vinkelns sidor.

En transversal är en linje som skär två eller flera andra linjer.

Vertiklavinklar är de motstående vinklar (markerade med lika många streck) i figuren ovan till höger.

A: Cirkelsektor B: Cirkelbåge — A: Cirkelsektor
B: Cirkelbåge

En cirkelsektor begränsas av två radier samt den cirkelbåge radierna avgränsar.

Sats

Några viktiga satser om vinklar mm

Supplementvinklar är vinklar vars summa är π radianer eller 180°. Sidovinklar är ett annat ord för supplementvinklar.
Vinklarna behöver inte vara intilliggande. De kan till exempel vara hörn i en parallellogram.

Två linjer är parallella om de likbenägna vinklarna är lika stora.

Två linjer är paralella om alternatvinklarna är lika stora. Alternatvinklar definieras i figuren till höger.

 Vinkelsumman i en triangel är 180^o

Thales sats säger att om en sida i en triangel ligger längs en cirkels diameter, och om det tredje hörnet också ligger på cirkeln, så är vinkeln vid det tredje hörnet en rät vinkel.

Det mesta av informationen ovan kommer från Wikipedia.

Vinkelsumma

En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.

Bevis - vinkelsumman i en triangel

Testa först.

Undersök med Geogebra-applet:

Triangelns vinkelsumma är 180 ^o

Flytta hörnen och se hur vinklarna ändras

Vad händer med vinkelsuman?

GGB från Liber.

Radianer

En vinkel eller ett vinkelområde är ett område av ett plan begränsat av två strålar, det vill säga delar av räta linjer som skär varandra i en punkt. Strålarna utgör vinkelområdets rand, och kallas för vinkelns ben. Skärningspunkten (och ändpunkten för strålarna) kallas för vinkelspets. Normalt markeras en vinkel med en vinkelbåge. Vinkelbegreppet används inom trigonometri och geometri.

För att mäta vinklar ritas en cirkelbåge med centrum i vinkelspetsen. Radianmåttet för vinkeln är längden av bågen mellan vinkelbenen dividerad med cirkelns radie. Vanligen uttrycks dock vinkeln i grader.

[math]\displaystyle{ \theta(rad) = \frac{b{a\!\!^\circ}gl{\ddot a}ngden}{radien} }[/math]

[math]\displaystyle{ \theta(grader) = \frac{b{a\!\!^\circ}gl{\ddot a}ngden}{omkretsen}\cdot 360 }[/math]

Symbolen för enheten grad är en lite upphöjd cirkel (°).

[redigera]

Öva begrepp

Beskriv vinklarna i figuren med lämpliga begrepp, exempelvis likabelägna vinklar, alternatvinklar, mm.

[redigera]

Lös uppgifterna nedan

Det är tre uppgifter från olika nationella prov (före Gy11). Provåret framgår av bildens namn.

Fler uppgifter

De här uppgifterna kommer från Kunskapsmatrisen. Fokusera på att lösa dem med snygga redovisningar som går lätt att följa och där du använder matematiska begrepp och satser.

[redigera]

Programmeringsuppgift

Python-hjälp - Fler exempel

Mål för undervisningen Kom igång med programmering och lär dig lite Logo.

Målet är att du ska bekanta dig med en klassisk programmeringslek, Turtle.

Undersök vinklar och Turtle med ett Pythonprogram

Det här kodexemplet passar till avsnittet om vinklar på Ma1c. Turtle är en klassiker inom undervisningen i programmering och använder språket Logo.

Wikipedia:Seymour_Papert

Koden

import turtle # Importera turtle så vi kan använda oss av turtle

Bob = turtle.Turtle() # Skapar sköldpaddan Bob

steg = 0 # Antal steg Bob ska gå i början

while True:           # Gör följande för alltid:
    Bob.fd(steg)        # Bob går X antal steg frammåt
    Bob.rt(360/7 + 1)   # Roterar Bob åt höger
    steg += 1           # Öka antal steg Bob ska gå

Den här koden fungerar inte på repl.it, du måste i så fall ladda ner IDE:n.

Credit

Jesper Lundgren gjorde programexemplet.

Uppgift

Uppgift

Förbättra programmet

Vad händer om du låter Bob svänga mer eller mindre än en sjundedel av 360 grader? Eller om du ökar på med mer än ett. Testa dig fram till snygga mönster. Beskriv i ord och försök förbättra koden.

[redigera]