Differentialekvationer Ma4

Primitiva funktioner

Några vanliga primitiva funktioner

Några primitiva funktioner

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] funktion	[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] primitiv funktion
[math]\displaystyle{ k }[/math]	[math]\displaystyle{ kx + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n ~~~ (n \ne -1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln{|x|} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]	[math]\displaystyle{ e^x + C }[/math]
[math]\displaystyle{ a^x ~~~ (a \gt 0, a \ne 1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a^x}{\ln a} + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ - \cos (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin (x) + C }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{a^2+x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \arcsin\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math]
k och C är reella konstanter.

Inom matematisk analys är en funktion F(x) en primitiv funktion till f(x) om funktionen f är dess derivata, det vill säga om F '(x)=f(x).

Andra benämningar av primitiv funktion är antiderivata eller obestämd integral. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.

Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f. Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C.

Exempel: Alla primitiva funktioner till

[math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]

kan skrivas

[math]\displaystyle{ F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C }[/math]

där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.

Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f.

Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.

I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.

Från Mall:Svep

Utmaningar - det kommer i Ma5

Artikel i Nämnaren

En artikel i Nämnaren av Jonas Halll och Thomas Lingefjärd.

Differentialekvationer och komplexa tal med GeoGebra

Differentialekvation - Exempel

En GGB av Jonas Hall

Differentialekvation - Alternativ

En annan GGB för Nämnare av Hall och Lingefjärd.