Kleindagarna 2012

Titelsidan för Henry Billingsley's första engelska version av Euklides Elementa, 1570. Läs den svenska utgåvan från 1844 på Projekt Runeberg

Syfte

Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från Kleindagarna 2012 som arrangerades av Svenska kommittén för matematikutbildning på Institut Mittag-Leffler. Kleindagarna stöds även av Nationalkommittén för matematik och Mattebron

Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: (länk till tidigare version).

Lektionerna från förra året finns här på SKM. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva vinjetter.

De fem E:na

Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar.

• Engage
• Explore
• Explain
• Elaborate
• Evaluate

Lektion abstrakt algebra - Grupper

Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin

Begrepp

• Kommutativ
• Associativ

Läs mer om grupper

Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor

Garfaen för y²=x³-x+1 visas nedan:

<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0

Lektionens genomförande

Kurs 3C

Facebook – gemensamma vänner

- Operation – Symbol – träd (engage)

- 2 objekt

- Andra operationer

- De fyra räknesätten

- Kanske förslag på sinus, roten ur

- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten

- Undersök kommutativitet

Tal Allmännt

3+4=4+3 a+b =b+a

3-14 inte = 4-3

Sen undersöka Associativitet

(3/4)/5 = 3/(4/5) ?

Utvecklade binära operationer

(a+b)^2

Rot(ab)

Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, …

Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ.

Tal  allmänt

Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika.

Avsluta med att visa lösningarna på tavlan.

Sedan åter till gemensamm fb-vänner

Konstatera att de är både komm och ass

Hemläxa att eleverna hittar på egen operation

Lektionstips 1 - Abstrakt algebra

Tolka definitioner

Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion

Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen

Obs olika representationer.

Konkreta exempel behövs.

Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.

Lektionstips 2 - Abstrakt algebra

Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner

Nollan, ettan och oändligheten.

1/[math]\displaystyle{ \infty }[/math]

1/0

[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]

logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel

inversa funktioner

Sjöfarten, logaritmtabeller

Lektionstips 3 - Abstrakt algebra

Kurs 1

Undersöka. Vilka är sanna?

Alla stämmer någon gång men inte alltid.

• a+b = b+a
• a-b = b-a
• ab = ba
• a/b = b/a

Hitta geometriska förklaringar

På samma sätt: distributiva, associoiativa

a/(b+c) = a/b + a/c

Dela en kaka i elevantalet. Sen kommer eleverna sent. Hur gör man då?

Uppgift: Hitta på en egen operation och kolla om det gäller.

Skulle kunna vara att personerna A och B jämför sina FB-kompisar. Sedan A och C. Vad säger det om B och C?

Det finns oändligt många räkneregler som är sanna någon gång.

Kurs 2 Repetition i samband med algebra.

Explore

Finn fem fel

Första kvadreringsfelet: (a+b)² = a² + b²

Andra kvadreringsfelet (2a)² = 2a²

Vilka räkneregler finns det som är användbara?

Evaluate

Skriv sanning på formelblad

Lektion med laborativa delar - Mäta solhöjden

En sextant.

Hur man använder sextanten för att mäta solens höjd över horisonten.

Den här lektionen uppstod ur diskussioner om abstrakt algebra där inversa funktioner berördes. Vi tog fasta på logaritmen - exponentialfunktionen som ett område där eleverna behöver konkreta exempel samtidigt som vi visar på den historiska nyttan.

Håkans sätt introducera logaritmer:

Nu vill vi introducera logaritmen på ett behovsbaserat sätt

alt simulering eller sextantsapp

Ma2C, Ma3B

Man går från R+ med multiplikation till addition

Sextant, mäta solhöjden, beräkna positionen, utan räknare ger behov av multiplikation av tal med många siffror

Behov: Modell sol, solhöjd

Introducera logaritmtabeller

Ger breddgraden. Longituden får man genom att räkan på sträcak tid. Krongrafen

Hur få alla i gruppen att delta?

Filmen longituden

Analogi: triangulering satelliter, GPS.

Vilken multiplikation är det? Är det typ sinussatsen? Sfäriska trianglar...

Sextantmätningen ger vinkel f solhöjd samt bäring (vinkel)

Latituden ges av tabellen

Begränsa oss till att mäta och räkna ut latituden.

Lektion i statistik - Strecket

Statistikteori

pi och e

Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.

Centrala gränsvärdessatsen förklarar detta.

Ladislaus von Bortkiewicz

Antalet preussiska kavallerister ihjälsparkade av sin hästar.

Antal dödsfall, antal pro

0 109 0.545

1 65 0.325

2 22 0.11

3 3 0.015

4 1 0.005

Användbart på gymn ?

Sannolikhetsträd för kasta krona

p² | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)²

Hur kommer det sig att [math]\displaystyle{ \pi }[/math] och [math]\displaystyle{ e }[/math] dyker upp hela tiden?

Possionfördelning

P som funktion av heltalen x för λ=m=1, 4 och 10.

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om [math]\displaystyle{ n }[/math] är stort och [math]\displaystyle{ p }[/math] är litet (tumregel: om [math]\displaystyle{ p \lt 0.1 }[/math] kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där [math]\displaystyle{ m=np }[/math]), där n = antalet försök och p = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är

[math]\displaystyle{ {P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}. }[/math]

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen på sv WP. Sidan behöver utökas...

Normalförelningen

Normalfördelningen har täthetsfunktionen

Normalfördelningen för olika värden på μ och σ²

[math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],

där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs mer

Qlucore

Programmet R

Företaget Qlucore

NCBI har fria data som man kan använda

Läs Nature och testa.

Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.

Stora datamängder: Helgenomundersökningar (3 10⁹ baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.

Lektionens genomförande - Strecket - gruppens redovisning

1. Inledning, dra streck
2. Excel, lärare
3. Median, medelv, Typvärde
4. Visualisera
   1. osorterat
   2. sorterat. platå innebär kanske norm fördeln
   3. Elever + lärare histogram. Typvärde ointressant
5. Slutrsats att måste ha mer data
   1. dels på egna skolan
   2. dels från andra skolor som finns på nätet
6. Utvidga. Hur stor procent skulle dra kortare än 7 cm? Kan man komma med en hypotes fr materialet och testa den?

Lektionsförslag - Strecket - grupparbetet

Pen stroke with gel refill

Engage

Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik.

Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper.

Kommentar: Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till.

Explore - Explain

Det kommer att växla mellan Explore - Explain.

Dra ett rakt streck på ett papper.

1. A4-papper.
2. Varje elev drar ett streck
3. Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna
4. Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur.
5. Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar
   1. Kön (det enda eleverna behöver skriva
   2. Längden
6. Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde
7. Hitogram. för att åskådliggöra.
8. Sortera efter längd
9. Histogram. Indelat i klasser.
   1. GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser.
   2. Länkar, boken.
   3. MalinC om normalfördelningen
10. Titta om det är någon skillnad på kön
11. Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer.
12. Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass.
13. Tror vi att det är normalfördelat.
14. Vilket är det normalaste strecket?

Explain

Att diskutera utifrån materialet

• Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse.

• Vad innebär normalfördelning?

Elaborate

Titta i nationella data.

T-test. Kul att se vad som händer om man gör om det när man vet om vad resultatet kan bli. Låt eleverna göra testet i olika klasser.

Tävling: Närmast väntevärdet vinner.

Rapportera in till SKM

• Program
• Län (skolans)

Lösa tankar och tips statistik

Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.

börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)

Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.

Samla in data med sensorer

Boktips: Euler, The Master of us all

Jana Madjarovas geometriföreläsning

Lektionstips och idéer - Geometri

• Begreppens betydelse. Är en kvadrat en rektangel?
• Läxförhör på definitioner
• Formulera satser
• Bevisa Pythagoras omvändelse
• Elevuppgift: Rita alla geometriska figurer och namnge dem.
• Genomgång: Komplettering. Strukturera.
• Återkoppla i senare undervisning.
• Parövning: Elever rygg mot rygg. en beskriver ett geometriskt objekt och den andre ska rita det den hör. Detta har jag gjort i åk5 men om man har med bisektriser och liknande blir det svårt nog. Det kan funka som en skriftlig övning som hemuppgift.
• Rita gissa spring?
• Etymologi.

Lektion Geometri - Linjen och cirkeln

Kurs Ma1C, Ma2B

Problematisera det uppenbara att en rät linje bara kan skära cirkeln i max två punkter.

Dubbelt onödigt enligt elever.

Men nödvändigt öva att argumentera.

Varför är det nödvändigt att argumentera och bevisa saker?

Finns det något som är enklare och mer relevant.

Praktiskt: ställ tre elever på en cirkel och fråga om de kan befinna sig på en rät linje.

Man måste börja med postulaten, dvs vad vet vi från början. Definitionen av cirkeln. Börja prata om det? Och vad är en rät linje.

Explore: På hur många olika sätt kan man dra en rät linje i förhållande till en cirkel?

Leder till att definiera cirkel, rät linje, mittpunkt, rät vinkel, radie, diameter.

Hur vet vi att det inte finns tre skärningspunkter.

Arbete i grupper. Utan passare och linjal.

Sen samlar man upp bilder och hypoteser. Förhoppningsvis har de uttryckt hypotesen att det finns max två punkter.

Sedan fästa blicken på att man använder basvinkelsatsen.

Utveckling: Hur vet vi att basvinkelsatsen är sann. Koppla till Euklides. 2000 år sedan.

Dataspelskoppling: hur ritar man en cirkel i GGb? Hur kan man cva säker på att det alltid blir en cirkel utifrån tre punkter? Å i så fall kan det inte vara en rät linje som går igenom punkterna på cirkeln. Sedan dessutom titta på hur en cirkel skapas i javascript.

Dataspelsingång: Du har tre motståndare som står på en cirkel. Du står utanför cirkeln. Kan du skjuta alla tre motståndare med ett skott.

Explain: Basvinkelsatsen.

Expand: Hur vet vi att basvinkelsatsen gäller?

Lektionstips geometri - knyt ekvivalens mm till geometriska objekt

Ett koncept: Implikation, ekvivalens och satsers omvändning.

Utforska rektanglar och parallellogrammer. Likheter och olikheter. Diagonaler, areor, omkretser, bisektriser, vinkelsummor. Specialfall, romb, kvadrat.

Spel som parar ihop olika egenskaper.

Koppla ihop ekvivalens och implikationen med Koppla ihop påståenden med figur.

Ex

Om vi har en parallellogtram. Diagonalerna delar varandra i två lika delar.

Om vi hare en parallellogram xxx Diagonalerna är vinkelräta.

Grupp 4

Förkunskaper

Gruppaktiviteter efter att man gjort randvinkelsatsen. Använder även yttervinkelsatsen och basvinkelsatsen.

Gruppuppgifter

Det finska felaktiga problemet. Rita och beräkan.

Ett andra är den inskrivna fyrhörningen. (sax)

Klassiker. De omöjliga trianglarna. (areorna som inte stämmer) eller något liknande.

Konstruera en triangel med omkretsen O = b cm och A = b cm².

Explain

Bevisa det som går och prata om det som inte går.

Använd papper och penna och linjal eller GGB.

Mathematical Knowledge for Teaching, MKT - Erika

MKT-koceptet: [http://www.math.ksu.edu/~bennett/onlinehw/qcenter/ballmkt.pdf Deborah Loewenberg Ball, Mark Hoover Thames, Geoffrey Phelps, Content Knowledge for Teaching: What makes i t Special]. Äggfiguren finns på sid 403

Ett exempel från Kina

Antag att 4/x + 1/y = 1

Fyra lösningar på tavlan. Läraren uppehåller sig länge vid en felaktig lösning. Det gör det lättare för läraren att förstå hur elever tänker.

Matematisk vigör. Läraren bra på många olika lösningar. kinesiska lärare bra på att planera lektioner.

<ggb_applet width="397" height="446" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Tivolifysik

Telefon-app: AccelGraph.

Tivoli-fysik

Centrepital a_c = v²/r

Whiplash, klotoider, Euler

Logger Pro 3, Vernier, WDSS (sensor)

Magnetpbroms, Virvelströmmar i mässingsplattor. Inducerad ström proportionell mot farten. INgen friktion men energin omvandlas till värme, inducerad ström.

Grupp 1 om tivolifysik

Kurvor former och vektorer.

Fyra myror går från varsit hörn, vinkelrätt mot varandra så att det bildas en spiral.

Eleverna går och upplever och sedan mäter de.

Eller tekoppen på ett roterande fat. Simulera i GGB.

Grupp 2 om tivolifysik

Begreppet derivata från vt-graf av Balder till at-graf.

Givet en graf. Hur ser åkturen ut?

Grupp 3 om tivolifysik

Inspirerade av Gröna Lunds tekoppar tittade vi på cykloider.

Engage: ?

Explore: Rund pappskiva på tavlan med penna och rita på papper. Lägga ut snöre och mäta banans längd. Inse att den är ungefär 8r. Leta på nätet och hitta formel.

Punkten på skivan kan även sitta en bit in. Undersök.

Även filma ett cykelhjul och ta fram cykloidkurvan i datorn.

Explain

• http://sv.wikipedia.org/wiki/Cykloid
• http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=cycloid
• [ http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D2%28t-sint%29%2C+y%3D2%281-cost%29 WolframAlpha]
• Se även http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem

Funktion: x=arccos(1-y)-(y-y^2)^.5

Explore: tänkbar undersökning. Den klassiska skejtrampen har en cykloid form. Gå till en ramp och mät längden på banan och höjden.

Expand: Gå in på http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Curves.html välj en kurva och sätt in i GGB med glidare.

Exempel: Pear-shaped Quartic

<ggb_applet width="421" height="435" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Lektion 3 -Randvinkelsatsen

Geometri 2b/2C Randvinkelsatsen 1 Undersöka trianglar. Konstruera rätvinkliga trianglar med given bas och höjd. 2

Se vidare anteckningar på papper

Lektion 4 - Myror

Program

• NeoOfficeCalc = Officepaket för Mac.
• FreeMat
• Matlab

Myror och rörelser 1

1 a Gissa vägen, skissa

b Gissa längden

2 Myror på roterande skiva

Bestäm vägen och längden av vägen. Tre olika avstånd från centrum.

3 Hur ser myrans väg ut om myran rör sig in mot centrum under rotation av skivan

4 Explain/explore

Uttrycka läget som sinus och cosinus. Sätt axlarna, gränserna på + - 1.

Matlab eller liknande program

Elaborate: Res skivan upp och rulla. Hur rör sig myran nu?

Myror och rörelse 2

1 Läge att introducera enhetscirkel och polära koordinater

Nu slutför man beräkningarna av längden från upp 1 i första lektionen. Pythagoras sats används för att beräkna.

2 Cykloiden.