Talet e

Teori

GGB - Talet e

Aktivitet

Härledning 1

Härledning 2

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Derivatan av exponentialfunktioner.

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Inledning

Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = a^x visas för ett antal värden på a. Talet e är det enda a som gör att derivatan av f(x) = a^x vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, e^x, tangeras av den röda linjen (som har lutningen 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2^x (prickad kurva) och 4^x (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.

Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} + 1 = 0 }[/math]

Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.

Wikipedia skriver om talet (e)

Definition
Exponentialfunktionen Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math] Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math]

[redigera]

Klicka på funktioerna och deras derivator. Vad händer om basen är 2 respektive 3? Händer det något spännande om basen ligger mellan 2 och 3? Testa med glidaren.

[redigera]

Derivera en exponentialfunktion

Använd derivatans definition på funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].

Variera a med hjälp av glidaren. Vad upptäcker du och vad betyder detta?

Hitta talet e Grafiskt

Uppgift

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] i Geogebra. Skriv in [math]\displaystyle{ g(x) = f'(x) }[/math] Vi drar i glidaren till kurvorna sammanfaller. För vilket värde på a är derivatan och funktionen lika. Se också resonemanget på Matteboken.se Kontrollera också om det gäller att "Talet e är det enda a som gör att derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] vid [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] är lika med 1.

[redigera]

Vid derivering av exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] , där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant uppkommer detta mönster.

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} }[/math]

Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:

[math]\displaystyle{ a^x\cdot k }[/math] , där [math]\displaystyle{ k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} }[/math]

Om exempelvis värdet 2 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 0.69

Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] följande:

[math]\displaystyle{ f(x)=2^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x }[/math]

Om exempelvis värdet 3 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] uttryck mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 1.1

Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 3^x }[/math] följande:

[math]\displaystyle{ f(x)=3^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x }[/math]

Alltså ska talet som medför att [math]\displaystyle{ k=\frac{a^h-1}{h}=1 }[/math] befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.

Om vi följaktligen deriverar exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] blir derivatan följande:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x }[/math]

Derivatan för funktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] motsvarar därför sig själv. Alltså:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]

[redigera]

Den här härledningen är svår och kräver att du utökar dina matematikkunskaper på egen hand.

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray*} f'(x)&=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h} = \\ \\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(e)^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{((1+h)^\frac{1}{h})^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(1+h)^k-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}1^{k-i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}h^{i-1}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\binom{k}{1}= \\\\ &=& ke^{kx} \end{eqnarray*} }[/math]

[redigera]

Kom igång med dessa uppgifter

Ange talet e med tre decimalers noggrannhet.

Beräkna värdet av [math]\displaystyle{ f(3) }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{x} }[/math]

Beräkna värdet av [math]\displaystyle{ f(2.55) }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = 2 \cdot e^{\frac{x}{7}} }[/math]

Bestäm derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{x} }[/math]

Bestäm derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{5x} }[/math]

Bestäm derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = 6 \cdot e^{5x} }[/math]

Bestäm lutningen för [math]\displaystyle{ f(x) = 2 \cdot e^{3x} }[/math] då [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math]

Facit till de senare uppgifterna finns i filmen med Åke Dahllöf på teorifliken.

Fler uppgifter

Det finns två pdf-er på Canvas.

[redigera]

Hur man fann talet e

Lättfattlig beskrivning på naturvetenskap.org

Definition av talet e

e kan också definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math].

Detta beror på följande samband

[math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\cdot\frac{e^h-1}{h}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow 0}e^h-1= h }[/math]

[math]\displaystyle{ e=\lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h} }[/math]

Sätt [math]\displaystyle{ \frac{1}{h}=n }[/math], där [math]\displaystyle{ n\to \infty }[/math] då [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math]

[math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]

De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)ⁿ}, n = 1, 2, ... är följande:

[math]\displaystyle{ 2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543 }[/math]

I decimalform, avrundat till tre decimaler:

[math]\displaystyle{ 2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546 }[/math]

Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.

Wikipedia skriver om e(tal)