Logaritmlagarna

Teori

Exempel

Lektionsanteckningar

Härledning

Repetition - Potenslagarna

Uppgifter

Aktivitet

Lär mer

[redigera]

Logaritmlagarna

Det finns ett antal logaritmlagar som är bra att använda när man ska lösa exponentialekvationer.

Sammanfattning av logaritmlagarna

Definition
Logaritmlagarna Multiplikation lg(a b) = lg a + lg b Division lg (a/b) = lg a - lg b Exponenter lg ap = p lg a

[redigera]

[redigera]

[redigera]

Utförlig härledning av potenslagen för addition-multiplikation

Härledning

Börja med talet ab. Definitionen av 10-logaritmer ger att [math]\displaystyle{ ab = 10^{\log ab} \qquad }[/math] Det går även att skriva om ab genom att skriva om a till basen 10 och b till basen 10. [math]\displaystyle{ ab = 10^{\log a}*10^{\log b} = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math] Det sista steget är via användning av första potenslagen ovan. Nu har vi att: [math]\displaystyle{ ab = 10^{\log ab} \qquad }[/math] men även att: [math]\displaystyle{ ab = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math] Med andra ord är [math]\displaystyle{ 10^{\log ab} = 10^{\log a + \log b} \qquad }[/math] Detta ger då att [math]\displaystyle{ \log ab = \log a + \log b }[/math] V S B

Samma härledning koncentrerad

I matematisk litteratur är det vanligt att härledningar skrivs utan alltför mycket förklarande text. Det lämnas då åt läsaren att klura ut hur man kommer till nästasteg. En fördel är att man får bättre översikt. Ovanstående härledning av första logaritmlagen ser då ut så här:

[math]\displaystyle{ \log (x \cdot y) = \log(10^{\log x} \cdot 10^{\log y}) = lg(10^{\log x + \log y}) = \log x+\log y }[/math]

Andra härlednigar finns i:

• Matteboken.se. (tydlig)
• Wikipedia:List_of_logarithmic_identities (tips)

[redigera]

Följande potenslagar gäller för potenser med reella exponenter.

[redigera]

Uppgift
Gör en egen härledning Visa att [math]\displaystyle{ \log \frac{a}{b} = \log a - \log b }[/math]

Uppgifter

lg(4x) - lg(2) = 2

• Extrauppgifter

lg( x² + 4x + 4 ) - lg( x + 2 ) = 2

lg(x² - 9 ) - lg( x + 3) = lg( 2x -7)

Uppgifter med logaritmer

[math]\displaystyle{ lg(4x)^2 + lg(2)^2= 4 }[/math]

Lista: (klicka expandera till höger)

Log10

[math]\displaystyle{ lg (16x^2 * 4) = 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ lg(64x^2)=4 }[/math]

[math]\displaystyle{ 64x^2=10000 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2= \frac{10000}{64} }[/math]

Men x kan inte vara negativt för logaritmfunktionen kan inte behandla negativa tal.

[math]\displaystyle{ x= 12.5 }[/math]

[redigera]

Öva i Kunskapsmatrisen.

Diskutera lösningar

Hur skulle du som lärare bedöma dessa lösningar? Tänk på att uppgifterna ni få ofta är konstruerade för att ni ska visa upp era senaste kunskaper.

Logaritmer_diskussion_1.PNG

Logaritmer_diskussion_2.PNG

[redigera]

Något att klura på:

Vad är log(Googolplex)

Vad är sjätteroten av en centiljon 10⁶⁰⁰ och hur många miljoner är det ?

Om stora tal

Hur många siffror har primtalet 2^57885161-1 ?

Tips: log₁₀(1234)=3,09..

Exit ticket

Kunskapsmatrisen - Exit ticket: Potenslagarna.