Exponentialfunktioner: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
Rad 35: | Rad 35: | ||
[[Fil:Exponentiellt_avtagande.png|500px|right]] | [[Fil:Exponentiellt_avtagande.png|500px|right]] | ||
Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9 | Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 % per minut. '''Förändringsfaktorn''' är alltså 0.9 | ||
{{clear}} | {{clear}} |
Nuvarande version från 9 januari 2018 kl. 12.17
Jämför
Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:
- [math]\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c }[/math] (bortse från de sista termerna)
- [math]\displaystyle{ y = ax^2 }[/math] (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)
- [math]\displaystyle{ y = C \cdot x^2 }[/math] (tänk nu att vi kastar om x och 2, C är en konstant )
- [math]\displaystyle{ y = C \cdot 2^x }[/math] (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)
- [math]\displaystyle{ y = C\cdot 1.5^x = C \cdot (\frac{3}{2})^x }[/math] (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)
- [math]\displaystyle{ y = C \cdot 0.5^x = C \cdot (\frac{1}{2})^x = C \cdot (2^{-1})^{x}= C \cdot 2^{-x} }[/math]
på generell form:
- [math]\displaystyle{ y = C \cdot a^x }[/math]
- talet a kallas basen. x är exponenten
Växande
![](/images/thumb/Exponentiellt_v%C3%A4xande.png/500px-Exponentiellt_v%C3%A4xande.png)
Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.
Avtagande
![](/images/thumb/Exponentiellt_avtagande.png/500px-Exponentiellt_avtagande.png)
Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 % per minut. Förändringsfaktorn är alltså 0.9
Vatten i termos
![](/images/thumb/Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png/600px-Exponentialfunktion_vatten_svalnar_i_termos.png)
Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.
Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)
Definitioner
y = Cax
växande a > 1
avtagande a < 1
C är skärningspunkt med y-axeln
a ej lika med 1, a > 0
Spegelkurvor
![](/images/thumb/Exponentiella_spegelv%C3%A4nda.png/400px-Exponentiella_spegelv%C3%A4nda.png)
Spegelkurvorna nedan består av y = 4x och y = (1/4)x
4 och 1/4 är inverserna till varandra.
y = (1/4)x kan skrivas som y = (4)-x
Övning: Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:
- y = (0.25)x
- y = (1/4)x
- y = (4)-x
Vilken slutsats drar du?
Övning - GeoGebra
Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167
Skriv alltså in dessa funktioner ggb:
- y = 0.5x
- y = 1x
- y = 1.1x
- y = 2*1.1x
- y = 1.2x
- y = 1.4x
- y = 1.8x
- y = 5x
Fråga: Vad gör att en kurva ökar snabbare?
Exempel 1
Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)
- Sätt in x = 0 så får du C
- Sätt in x = 5 och y = 6 i funktionen och räkna ut a
Uppgift |
---|
Lös upppgiften ovan med GeoGebra
Skriv in funktionen y = C a <top>x<\top> Du kommer då att få frågan om du vill skapa glidare för C och a. Det vill du. Dsa i glidarna och finn lösningen. |
Exempel 2
Lös ekvationen 2x = 1 + 3x grafiskt.
Lös även olikheten 2x < 1 + 3x