Derivatan av 2^x

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Definition
Derivatan av [math]\displaystyle{ y = a^x }[/math] Om [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = ln \, a \cdot a^x }[/math] (a > 0)

Härledning

Vid derivering av funktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant:

[math]\displaystyle{ a }[/math] kan skrivas som [math]\displaystyle{ e^{\ln a} }[/math] (se naturliga logaritmen]]) vilket innebär att [math]\displaystyle{ a^x }[/math] även kan substitueras med [math]\displaystyle{ e^{\ln a x} }[/math].

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{\ln a x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a (x+h)}-e^{\ln a x}}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{\ln a h}\cdot(e^{\ln a x}-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{\ln a x} \cdot\frac{e^{\ln a h}-1}{h} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] nu tillsätts med ett värde, exempelvis 6 blir derivatan :

[math]\displaystyle{ f(x)= e^{6x} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{h\to 0}e^{6x} \cdot\frac{e^{6h}-1}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=6\cdot e^{6x} }[/math]

Detta innebär att denna allmänna formel för exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ e^{kx} }[/math], där [math]\displaystyle{ k }[/math] är en konstant lyder:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^{kx} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=k \cdot e^{kx} }[/math]

Om [math]\displaystyle{ k }[/math] substitueras med [math]\displaystyle{ \ln a }[/math] blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] följande, om [math]\displaystyle{ a^x=e^{\ln a x} }[/math]:

[math]\displaystyle{ f(x)=a^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=\ln a \cdot a^x }[/math]

En övning som repetition

Man häller kaffe i en termos. Kaffet har från början temperaturen 92° C. Termosen ställs sedan i ett rum där temperaturen är 15° C. Temperaturen antas förändras enligt någon av dessa två modeller:

a) [math]\displaystyle{ y(t) = 92 - 7 t }[/math], där t är tiden i timmar.


b) [math]\displaystyle{ y(t) = 92 \cdot 0.93^t }[/math]

Ta reda på under vilka tider modell a respektive b gäller.

c) Föreslå en modell som bättre beskriver temperaturändringen.

d) Vi vilken tidpunkt är temperaturförändringen samma enligt modell a och b?