Derivator

Embed:

<a href="https://wikiskola.se/index.php/Derivator">Click to open the embedded page at Wikiskola.se</a><iframe src="https://wikiskola.se/index.php/Derivator" style="width:1200px;height:800px;border:0px;" frameborder="0" scrolling="yes"></iframe>

Problemlösning med derivatan

Detta är en sammanfattning som introduktion till avsnittet om derivator. Den innehåller ett fysikproblem med en måsjägare.

Introduktion till derivatan

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Introduktion till derivatan

Vi har jobbat med ett konkret exempel om ett luftgevär. Vi har lärt oss derviera funktioner.

Nu är det dags att förklara vad derivatan är:

• lutningen i en punkt
• sätt att beskriva hur grafen för en funktion förändras
• sätt att hitta extrempunkter
• Derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]
• Derivatan av [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] skrivs [math]\displaystyle{ y'(x) }[/math]

Derivatan lika med noll

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Extrempunkter

Fiffigt sätt att hitta extrempunkter:

1. derivera funktionen
2. sätt derivatan lika med noll
3. lösningens x-värde ger max- eller minpunkten

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen. [math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math] Eftersom andraderivatan är [math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math] så är [math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math]. Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math]. Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).

Derivatan är lutningen i en punkt

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Derivatans definition

Om du ska räkna ut lutningen i en punkt får du problem. [math]\displaystyle{ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{0} }[/math] och det går ju inte. Här behövs formell matematik.

Nu utgår vi från en punkt [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math] och så kallar vid punktensom närmar sig för [math]\displaystyle{ (x+h,f(x+h)) }[/math]. När [math]\displaystyle{ h }[/math] krymper kommer den andra punkten att närma sig den första. Man säger att h går mot noll och det skrivs

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} }[/math]

Detta kan sammanfattas på matematisk form och kallas derivata.

Definition
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet [math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Man kan definiera derivata på lite olika sätt. Här följer en geogebra fil där du kan flytta punkten A som du deriverar kring. Du kan också flytta två närliggande punkter. Om du vill ändra funktionen f måste du ladda ner filen härifrån [1]. Du flyttar A med slidern a. Avståndet (h eller delta h) till A för punkterna B och C med slidrers b och c. Linjen e motsvarar höger derivatan i punkten A när avståndet |C-A| går mot noll. På samma sätt motsvarar linjen d vänster derivatan då |B-A| går mot noll. Till slut är linjen g en variant av en sekant definition av derivata om |B-C| går mot 0. <ggb_applet width="1223" height="780" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Wolfram - Snowboardåkaren

Snowboarding over Derivatives from the Wolfram Demonstrations Project by Sergio Hannibal Mejia

This Demonstration shows the geometric nature of the first and second derivative using a snowboarder. Imagine watching a snowboarder using a telescope. The inclination of the snowboard gives a numeric value for the first derivative, as read from the calibrated scale on the edge of the telescope. Here we assume that the snowboarder is not jumping, so that the board is always tangent to the slope. The second derivative is represented geometrically by how the front tip of the snowboard rotates upwards or backwards. You can make flags show in places where the first/second derivative are zero and you can choose different courses for practice. The author has found this Demonstration useful with his students, explaining using one course and letting them try to determine sign diagrams for the other courses.

Tillämpningar

Derivator kommer till användning på många områden inom naturvetenskap, ekonomi, mm. Här kommer ett exempel från fysiken.

Exempel

Tryck Antag att [math]\displaystyle{ p(h) }[/math] betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden [math]\displaystyle{ h }[/math] (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan [math]\displaystyle{ p'(h) }[/math] att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ. Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Derivataquiz

1 Derivatan av 2x³ är:

	x2
	3x2
	6x2
	x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

	Sannt.
	Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

	Sannt.
	Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.

Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?