Differentialekvationer Ma4: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 73: | Rad 73: | ||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== Enkla differnetialekvationer == | |||
{{#ev:youtube | fHdIYDQ4vBQ | 340 | right |Differnetialekvationer - några allmänna lösningar. Mattias Danielsson, CC}} | |||
{{#ev:youtube | vcDFkGr2M8Q | 340 | right |Tillämpningar av differnetialekvationer. Mattias Danielsson, CC}} | |||
== Utmaningar - det kommer i Ma5 == | == Utmaningar - det kommer i Ma5 == | ||
Versionen från 20 januari 2015 kl. 22.38
Primitiva funktioner
Öva
Några vanliga primitiva funktioner
| [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] funktion |
[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] primitiv funktion |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ k }[/math] | [math]\displaystyle{ kx + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ x^n ~~~ (n \ne -1) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac{1}{x} }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln{|x|} + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ e^x }[/math] | [math]\displaystyle{ e^x + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ a^x ~~~ (a \gt 0, a \ne 1) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{a^x}{\ln a} + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math] | [math]\displaystyle{ - \cos (x) + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math] | [math]\displaystyle{ \sin (x) + C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{a^2+x^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \arcsin\frac{x}{a} + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2+a}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right| + C }[/math] om [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] |
| k och C är reella konstanter. | |
Inom matematisk analys är en funktion F(x) en primitiv funktion till f(x) om funktionen f är dess derivata, det vill säga om F '(x)=f(x).
Andra benämningar av primitiv funktion är antiderivata eller obestämd integral. Samma beteckning används som för integraler, fast utan några gränser. Primitiva funktioner används bland annat till algebraisk beräkning av integraler.
Eftersom derivatan av en konstant funktion är noll, finns det oändligt många primitiva funktioner till en funktion f. Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C.
Exempel: Alla primitiva funktioner till
- [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math]
kan skrivas
- [math]\displaystyle{ F(x)=\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C }[/math]
där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x.
Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f.
Det är i allmänhet mycket enklare att analytiskt derivera än att analytiskt integrera och därigenom är det enkelt att kontrollera om en primitiv funktion är korrekt framtagen.
I tabellen till höger finns de vanligast använda primitiva funktionerna, även kallade standardprimitiver.
Från Wikipedia skriver om Primitiv_funktion
Primitiva funktioner med villkor
Enkla differnetialekvationer
Utmaningar - det kommer i Ma5
Artikel i Nämnaren
En artikel i Nämnaren av Jonas Halll och Thomas Lingefjärd.
Differentialekvation - Exempel
Differentialekvation - Alternativ
En annan GGB för Nämnare av Hall och Lingefjärd.