|
|
| Rad 8: |
Rad 8: |
| * widget | | * widget |
| * GeoGebra | | * GeoGebra |
|
| |
| = Samband och förändring =
| |
|
| |
| == Derivatan ==
| |
|
| |
| === Introduktion till derivatan ===
| |
|
| |
| {{#ev:youtube|_L0P47R3agc|250|right|Introduktion till derivatan}}
| |
|
| |
| '''Fler filmer:'''
| |
| * [http://www.youtube.com/watch?v=dhqdVGk_bNw Extrempunkter]
| |
| * [http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk&feature=related Derivatans definition]
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
| === Deriveringsregler ===
| |
|
| |
| Derivatan av en funktion...
| |
|
| |
| {{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
| |
|
| |
| :<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math>
| |
|
| |
| Eftersom andraderivatan är
| |
|
| |
| :<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math>
| |
|
| |
| så är
| |
|
| |
| :<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>.
| |
|
| |
| Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>.
| |
|
| |
| Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}}
| |
|
| |
| === Definition ===
| |
|
| |
| Derivatan av funktionen <math>f</math> i punkten <math>x_0</math>'' definieras som gränsvärdet
| |
| : <math>f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}</math>
| |
|
| |
| === Exempel 1 - tryck ===
| |
|
| |
| Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.
| |
|
| |
| === Geometrisk tolkning ===
| |
|
| |
| [[Fil:Derivata.svg|miniatyr|260 px|Derivatan är tangentens lutning i ''(x, f(x))'']]
| |
| Om en funktion ''f'' åskådliggörs av en graf ''y'' = ''f''(''x'') så anger derivatan av ''f'' grafens lutning (förändring av ''y'' per förändring av ''x'') för varje värde ''x''. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (''x'', ''f''(''x'')).
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
| === Khan-övningar ===
| |
|
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivative_intuition Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut]
| |
| * [http://www.khanacademy.org/exercise/derivatives_1 Öva derviering 1 på Khan]
| |
|
| |
| === Derivataquiz ===
| |
|
| |
| <quiz shuffle=yes display=simple>
| |
| {Derivatan av 2x<sup>3</sup> är:
| |
| |type="()"}
| |
| - x<sup>2</sup>
| |
| - 3x<sup>2</sup>
| |
| + 6x<sup>2</sup>
| |
| - x<sup>3</sup>/3
| |
|
| |
| {Derivatan beskriver hur något förändras.
| |
| |type="()"}
| |
| + Sannt.
| |
| - Falskt.
| |
|
| |
| {Derivatan anger hur krokig en kurva är.
| |
| |type="()"}
| |
| - Sannt.
| |
| + Falskt.
| |
|
| |
| {
| |
| |type="{}"}
| |
| [[Fil:Tangent to a curve.svg|miniatyr|vänster|200px]]
| |
| Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.
| |
| Vad kallas den röda linjen?
| |
| { tangent }
| |
|
| |
| {Förändringen mellan två punkter ges av att <math>{\Delta y = 200}</math> och <math>{\Delta x = 3}</math>.
| |
| Vad blir lutningen?
| |
| |type="{}"}
| |
| { 67 5% _3 }
| |
| </quiz>
| |
|
| |
| == Widget ==
| |
|
| |
| {{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}}
| |
|
| |
|
| == Prov == | | == Prov == |
|
| |
|
| * Om [[Digitala prov]] | | * Om [[Digitala prov]] |