Kleindagarna 2012: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 25 juni 2012 kl. 21.29

Syfte

Denna sida innehåller anteckningar och reflektioner från Kleindagarna 2012 som arrangerades av Svenska kommittén för matematikutbildning på Institut Mittag-Leffler. Kleindagarna stöds även av Nationalkommittén för matematik och Mattebron

Här på Kleindagarna ska vi tillsammans skapa nya matematiklektioner. Min tanke nu (23 juni) är att redigera om sidan till fyra eller fler lektionsförslag utifrån mina tankar. Det innebär att jag kommer att ta bort en del för att skapa överblick. Mina oredigerade anteckningar finns här: (länk till tidigare version).

Lektionerna från förra året finns här på SKM. De är fria att översätta och använda som man vill. Vi uppmuntras även att skriva vinjetter.

De fem E:na

Samuel tipsade om att en lektion gärna kan struktureras så att den innehåller komponenter med följande inriktningar.

Engage
Explore
Explain
Elaborate
Evaluate

Lektion 1 - Grupper

Teoriföreläsning: Abstrakt algebra, Veronica Crispin

Begrepp

Kommutativ
Associativ

Läs mer om grupper

Kryptografi via grupp på elliptiska kurvor

Garfaen för y²=x³-x+1 visas nedan:

<ggb_applet width="348" height="334" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAG2Qz0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAG2Qz0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1svVdtj9M4EP4Mv2KUT6DbbuPYSVuUgg4kdEgLd9Jyp9MhkNzEbc2mcWQ7fUH8+BvbSZouHOLE6art+mXG8/6M3fzZcVfBXmgjVb2MyHUcgagLVcp6s4xau57Mo2dPH+YboTZipTmsld5xu4yY45QlThgVa7YWk2KxZhOWZXQyF6t0QsS8LEqWLRZlGgEcjXxSqzd8J0zDC3FbbMWO36iCW694a23zZDo9HA7XvaprpTfTzWZ1fTRlBGhmbZZRN3mC4i4OHahnT+KYTP98fRPET2RtLK8LEYFzoZVPHz7ID7Iu1QEOsrTbZUTTLIKtkJut82k2i2DqmBoMSCMKK/fC4NHR0vtsd03k2Xjt6A/CDKrBnQhKuZel0MsovsYQMDpP4iRhM7IgESgtRW07VtKpnPbC8r0UhyDVzUKQI7BKVSvuBMLnz4DSYrhyAwlDgkOWBVIc9mIahiQMLAxp4GHhOAusLPCwwMNoBHtp5KoSy2jNK4MBlPVaY/KGtbGnSnh7uo2z8+QKfTLyEzKTdBFBiDgu4vjKfTP8sjgOfo+cJCOtVrf/UmmvkrL596tMfshR2utM2FfcTNJ/cDP7htLg9/f4SdL4rBNV+T///UIj/Zab9zWG9Y8pzNj/4mI+7aGSd+gAs3W8XfVYsTMOL3QB6cKVPYEUsZHNsMpTIAscZgkgGoCkwFJckjlkbpwBnSGBAYU5OD5CwYMjneM/NvPCMkhRmNudISaBoCIGKQXiMcUAkQQel4jRhCJHmkKKh5x6kjgRNAOW4YrOgaGNDpIzgowUD+Ia1SdACVB3mMwgySBz8ghzUM/mznQUmUAWQ0acQEQ1IjqgGfnnQJ03WRcuWTetvQhRsSv7qVXNkAvkxn50bnqhP130xAd5xVeiwmvi1mUSYM8rhwivaK1qC30Ss7C30bzZysLcCmvxlIGPfM9vuBXHl8htet2et1C1+U0r+0JV7a42AIWq4sFmVZHRPBmsxgUdEdiYkI4I2Wg++6pehRRojUD9SpuenZflK8dxbg0YyV/r6vRcC37XKHnpRj71N04u2qKSpeT1H1isTouLCwwXkGtX/QVE46w3ROny9mSwguH4l9AK40jxyh1/MKunjpTG14vxB68xU3AHPqRcHMKWdepIbHF5aB5Ui/2QIX4Ug/MbLcvx/JV5rqpyCIX3/gVvbKv9ywH1aOfTz/WmEr5CPK7xWi7uVup4G0qDBllvTw2u4qB/tfFRB+wMSYovBxSGN1IEK+dnV1/OsIEr9jyx54j7WpPlF1Lc6QspWLzBtM5R0ntJ4l6NNL6fxdEFanzlu0u+raW96RdWFndnTx3/m3a3EkP9XIok/5HIfHqvvvI7oWtRdeWMiWxVawI6R5VeikLucBkISWecS9bvaEDYLcVGi97uyr/JQrg8NR5X6hfbXtRLrXav6v1brIR7BuTT3srcFFo2rt5ghVfAnTjXVCkNxxukHJ9z+EPXC3dTYHisCw0is7Vbpf2zCxsKjg52ldjhKwusLy65aypZSNuo6jREm/tHnAsrqNVHbG33sjGKF9KHgvKFNCo54FWz5e6l1zlf8ZPQF+HwAl+r8n6QMAfeEwR6E3LcCBGqw3aggAbFeUyNzMHepMfdvIsYCm/x0OnDo+QxLOH44RF9DBM4wk9APPWM4XsIsNia7/D9iZWVjnS7yS+yLIW/lruEi/UaQ4mxNaCd2VxrfvKhxyC8ezfBHxFXGIsrHN9fvetXsV/FF6vJmPi+u3e6xLnpONu+oXY/DZ7+DVBLBwi/zlCeLAUAALcMAABQSwECFAAUAAgACABtkM9A1je9uRkAAAAXAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAG2Qz0C/zlCeLAUAALcMAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF0AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAAwwUAAAAA" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Addera punkter. Hitta på en operation. P,Q,R ligger i en rät linje, då P+Q+R=0

Genomförande

Kurs 3C

Facebook – gemensamma vänner

- Operation – Symbol – träd (engage)

- 2 objekt

- Andra operationer

- De fyra räknesätten

- Kanske förslag på sinus, roten ur

- Fortsätt att skapa operationer med de fyra räknesätten

- Undersök kommutativitet

Tal Allmännt

3+4=4+3 a+b =b+a

3-14 inte = 4-3

Sen undersöka Associativitet

(3/4)/5 = 3/(4/5) ?

Utvecklade binära operationer

(a+b)^2

Rot(ab)

Använd inte *för operationen. Hjärta, smiley, …

Undersök ett av elevernas förslag map komm och associativ.

Tal  allmänt

Grupper om tre. De får ett par saker att undersöka. Det kommer att finnas sex olika.

Avsluta med att visa lösningarna på tavlan.

Sedan åter till gemensamm fb-vänner

Konstatera att de är både komm och ass

Hemläxa att eleverna hittar på egen operation

Lektionstips 1 - Abstrakt algebra

Tolka definitioner

Jobba förutsättningslöst <--> abstraktion

Första lektion på gymnasiet något oförväntat. Jobba med spel med gruppstruktur. Olika grupper men samma sak. Samma mönster kommer igen

Obs olika representationer.

Konkreta exempel behövs.

Slutresultat att alla har en känsla av att förstått något nytt.

Lektionstips 2 - Abstrakt algebra

Börja med ett problem för att sedan eleverna ska finna behov av regler, definitioner

Nollan, ettan och oändligheten.

1/[math]\displaystyle{ \infty }[/math]

1/0

[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]

logaritmerna, strukturerad metod att göra multiplikationen enkel

inversa funktioner

Sjöfarten, logaritmtabeller

Lektionstips 3 - Abstrakt algebra

Kurs 1

Undersöka. Vilka är sanna?

Alla stämmer någon gång men inte alltid.

a+b = b+a
a-b = b-a
ab = ba
a/b = b/a

Hitta geometriska förklaringar

På samma sätt: distributiva, associoiativa

a/(b+c) = a/b + a/c

Dela en kaka i elevantalet. Sen kommer eleverna sent. Hur gör man då?

Uppgift: Hitta på en egen operation och kolla om det gäller.

Skulle kunna vara att personerna A och B jämför sina FB-kompisar. Sedan A och C. Vad säger det om B och C?

Det finns oändligt många räkneregler som är sanna någon gång.

Kurs 2 Repetition i samband med algebra.

Explore

Finn fem fel

Första kvadreringsfelet: (a+b)² = a² + b²

Andra kvadreringsfelet (2a)² = 2a²

Vilka räkneregler finns det som är användbara?

Evaluate

Skriv sanning på formelblad

Lektion med laborativa delar - Mäta solhöjden

Den här lektionen uppstod ur diskussioner om abstrakt algebra där inversa funktioner berördes. Vi tog fasta på logaritmen - exponentialfunktionen som ett område där eleverna behöver konkreta exempel samtidigt som vi visar på den historiska nyttan.

Håkans sätt introducera logaritmer:

Nu vill vi introducera logaritmen på ett behovsbaserat sätt

alt simulering eller sextantsapp

Ma2C, Ma3B

Man går från R+ med multiplikation till addition

Sextant, mäta solhöjden, beräkna positionen, utan räknare ger behov av multiplikation av tal med många siffror

Behov: Modell sol, solhöjd

Introducera logaritmtabeller

Ger breddgraden. Longituden får man genom att räkan på sträcak tid. Krongrafen

Hur få alla i gruppen att delta?

Filmen longituden

Analogi: triangulering satelliter, GPS.

Vilken multiplikation är det? Är det typ sinussatsen? Sfäriska trianglar...

Ulrihca berättar

Sextantmätningen ger vinkel f solhöjd samt bäring (vinkel)

Latituden ges av tabellen

Begränsa oss till att mäta och räkna ut latituden.

Magnus föredrag

Normalfördelningen innehåller pi och e. Hur kommer det sig? Denna fråga fick Wigner att skriva denna artikel.

Centrala gränsvärdessatsen förklarar detta.

Ladislaus von Bortkiewicz

Antalet preussiska kavallerister ihjälsparkade av sin hästar.

Antal dödsfall, antal pro

0 109 0.545

1 65 0.325

2 22 0.11

3 3 0.015

4 1 0.005

Användbart på gymn

Sannolikhetsträd för kasta krona

p² | P(1-p) | (1-p)p | (1-p)²

Hur kommer det sig att [math]\displaystyle{ \pi }[/math] och [math]\displaystyle{ e }[/math] dyker upp hela tiden?

Possionfördelning

Poissonfördelning är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att beskriva företeelser som inträffar oberoende av varandra, till exempel att en partikel sönderfaller i ett radioaktivt preparat eller att samtal inkommer till en telefonväxel. Den approximerar binomialfördelningen om [math]\displaystyle{ n }[/math] är stort och [math]\displaystyle{ p }[/math] är litet (tumregel: om [math]\displaystyle{ p \lt 0.1 }[/math] kan den aktuella binomialfördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(λ=m) där [math]\displaystyle{ m=np }[/math]), där n = antalet försök och p = sannolikheten att den efterfrågade händelsen ska inträffa. Sannolikhetsfunktionen är

[math]\displaystyle{ {P(X=x) =} {{e^{-\lambda} \lambda^x} \over x!}. }[/math]

Poissonfördelningen har egenskapen att väntevärdet och variansen båda är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen på sv WP. Sidan behöver utökas...

Normalförelningen

Normalfördelningen har täthetsfunktionen

[math]\displaystyle{ f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}} }[/math],

där μ och σ är normalfördelningens karakteristiska konstanter: μ är väntevärdet och σ är standardavvikelsen för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med [math]\displaystyle{ N(\mu,\sigma)\, }[/math].

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se Läs mer

Qlucore

Programmet R

Företaget Qlucore

NCBI har fria data som man kan använda

Läs Nature och testa.

Explorativt verktyg för att komma fram till hypoteser.

Stora datamängder: Helgenomundersökningar (3 10⁹ baspar) med tusen patienter. Global uppvärmning. Väder. Partikelfysik.

Grupp 1 på fre em

Lösa tankar

Kolla på normalfördelningar och se hur e och pi dyker upp hela tiden.

börja med att titta på hästar eller bilar (addera två eller tre tärningar)

Tänk på fiskexemplet i Liber Ma2C om regression. Gå vidare med att mäta höjd och omkrets på träd. Dels har man normalförelningar på höjd och omkrets. Sedan har man samband mellan omkrets och höjd. Sedan titta på radie och höjd.

Samla in data med sensorer

Boktips: Euler, The Master of us all

Excel övning: pi²/6

Grupp 2

Fotboll, antal mål? Fotbollsstatistik

Handboll?

Olika data, samma fördelning? Labba med Geogebra.

Titta på andra datamängder som FB-vänner.

Grupp 3

Serie: Jelly Beans

Elever kikar på tidningsartiklar som refererar "vetenskapliga" studier.

Upptäck att det är svårt att hitta källor.

Plan över vetenskaplig studie.

Sedan bedöma varandras planer. Respons i Voice Thread.

Grupp 4

Lönestatistik på kommunal skola. Genusfråga. Eleverna bearbetar. Eleverna tar kanske medelvärdet.

Problematisera: man-kvinna, utbildningsnivå, undervisande ämnen, ålder.

SIRIS i Gapminder

Lektionsförslag - Strecket

Engage

Idag ska vi göra enklaste möjliga övning men ändå komma att se fantastisk matematik.

Det första vi ska göra är att dra ett streck på ett papper.

Kommentar: Eleverna ska vara så lite informerade som möjligt om vad strecket ska vara till.

Explore - Explain

Det kommer att växla mellan Explore - Explain.

Dra ett rakt streck på ett papper.

A4-papper.
Varje elev drar ett streck
Mät längden i mm. Mät avståndet mellan ändpunkterna
Rapportera till läraren som skriver upp värdena på tavlan. Utan struktur.
Visa Excel el likn med projektor och anteckna värdena som eleverna rapporterar
1. Kön (det enda eleverna behöver skriva
2. Längden
Värdena osorterat. Fråga eleverna vad man kan göra med data. De föreslår förmodligen medelvärde osv. Beräkna medelvärde
Hitogram. för att åskådliggöra.
Sortera efter längd
Histogram. Indelat i klasser.
1. GGB. Dela in i lagom antal klasser. Klassbredden kan vara 10 % av intervallet, dvs omkring 10 klasser.
2. Länkar, boken.
3. MalinC om normalfördelningen
Titta om det är någon skillnad på kön
Vi har ett stickprov av alla streck som kunde dras. Kan vi jämföra detta med något annat. Titta på något mer.
Om vi skulle gå ut på stan, hur många procent skulle då dra streck kortare än 7 cm. Man kan pröva denna hypotes i en annan klass.
Tror vi att det är normalfördelat.
Vilket är det normalaste strecket?

Explain

Att diskutera utifrån materialet

Medelvärde, median, min-, max-värde, kvartiler, standardavvikelse.

Vad innebär normalfördelning?