Sammanfattning av kapitel 3 i Ma2C

Funktion och graf

Celler de Sant Cugat lateral

Teori funktionen f(x)

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Exemepl: f(x) = x² + 3x - 4

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

Andragradsfunktioner

Fyra sätt att beskriva andragradaren

Vi kommer att arbeta med fyra representationer, fyra sätt att beskriva andragradsfunktionen. Alla sätt beskrivs mer ingående senare men här kommer en snabb sammanställning i några rader och eventuell bild.

Generell algebraisk form

Andragradsfunktionen på allmänn form [math]\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx + c }[/math].

Exempel: Andragradsfunktionen [math]\displaystyle{ f(x) = 2x^2 - 4 }[/math].

Fokus och styrlinje

Andragradsfunktionen beskrivs och ritas upp utifrån en linje och en punkt.

Vertex och nollställe

Varje parabel har en extrempunkt där den antar sitt högsta eller lägsta värde. Dessutom kan den ha ett eller två nollställen men det är inte alltid så.

Värdetabell

Som med alla funktioner kan man göra en värdetabell med x- och y-värden. När dessa talpar ritas in i ett koordinatsystem får man funktionens graf.

Parabelns ekvation

Avståndet till styrlinjen är lika med avståndet till fokus

Definitioner

Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln

Andragradsfunktionens graf

Begrepp och egenskaper hos andragradsfunktionern

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x²-termen betyder minimipunkt

negativt före x²-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

Exponentialfunktioner

Växande

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Avtagande

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. Förändringsfaktorn är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Definitioner

y = Ca^x

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

Spegelkurvor

Spegelkurvorna nedan består av y = 4^x och y = (1/4)^x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)^x kan skrivas som y = (4)^-x

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Logaritmer och funktionen y = 10^x

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

a = b^x

Enkla tiopotenser

Du behöver känna till några av de vanligaste tiopotenserna:

1000 kan skrivas som 10³

100 kan skrivas som 10²

10 kan skrivas som 10¹

1 kan skrivas som 10⁰

0.1 kan skrivas som 10^-1

0.01 kan skrivas som 10^-2

Tänk dig nu att det finns oändligt många fler potenser 10^x där x inte är ett heltal.

Potensfunktionen y=10^x

grafen visar y = 10^x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10^x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />

Alla värden är möjliga

Dra i glidare ovan så ser du att det finns ett y-värde för varje x-värde.

Och omvänt ett x-värde för varje y-värde.

Potensfunktionen gäller för både positiva och negativa x-värden men y blir alltid positivt. Y blir väldigt litet för stora negativa x.

Definitioner

Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a

[math]\displaystyle{ a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a }[/math].

Räkneregler för logaritmer

Onsdag v 16

Sats: Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

Sats: Division

lg (a/b) = lg a - lg b

Sats: Potensräkning

 lg ap = p lg a

Något att klura på:

Vad är log(Googolplex)

Logaritmiska modeller

pH

Några olika pH-indikatorer

pH är ett logaritmiskt mått på surhet, det vill säga på aktiviteten av vätejoner (H⁺) i en lösning. Lösningar med låga pH-värden är sura, och de med höga kallas basiska. Lösningar som har pH 7 (vid 25 °C) kallas neutrala. Symbolen p i pH är en operatorbeteckning innebärande att man anger den negativa 10-logaritmen av vätejonaktiviteten; det vill säga

[math]\displaystyle{ p\rm H = -\log_{10}{[H^+]} }[/math].

pH-skalan infördes av Søren Peder Lauritz Sørensen 1909.

En stark syra med hög koncentration har ett pH-värde nära 0; en stark bas med hög koncentration har pH-värde nära 14. pH-skalan är dock inte begränsad till 0-14 och det finns till exempel riktigt starka syror med negativa pH-värden (under 0). Utifrån definitionen av pH får man:

• Vid pH 1 är vätejonaktiviteten {H⁺} = 1·10^-1.
• Vid pH 7 är vätejonaktiviteten {H⁺} = 1·10^-7.
• Vid pH 14 är vätejonaktiviteten {H⁺} = 1·10^-14.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Läs: Wikipedia om pH.

Tillämpningar på exponentiell förändring

Radioaktivitet som funktion av tid; halveringstiden T_½ = ln(2)*τ, där τ är medellivstiden.

Lektion 2, måndag v 17

Här räknar vi på radioaktivt sönderfall, kol-14-metoden och liknande uppgifter.

Halveringstid

Halveringstid är den tid efter vilken hälften av en given mängd av ett radioaktivt grundämne har sönderfallit. För en enskild instabil partikel kan halveringstiden tolkas som den tid efter vilken sannolikheten är 50% för att partikeln skall ha sönderfallit. Begreppet halveringstid används ofta i samband med radioaktivt sönderfall men kan även beskriva andra former av sönderfall eller nedbrytning, speciellt sådana processer som avtar exponentiellt.

Orsaken till att man definierar begreppet halveringstid är att denna, för ett visst ämne eller partikel, blir konstant (oberoende av tiden och mängden av ett ämnet). Till exempel så återstår hälften av en given mängd av den radioaktiva isotopen kol-14 efter ungefär 5730 år (halveringstiden) oavsett hur stor mängd man startar med. Efter ytterligare en halveringstid återstår således en fjärdedel av den ursprungliga mängden och efter tre halveringstider en åttondel. Rent matematiskt kommer alltså en viss, ständigt minskande, mängd alltid att finnas kvar.

Mängden (antalet atomer eller partiklar), N(t) som återstår vid tiden t kan beräknas enligt formeln

[math]\displaystyle{ N(t)=N(0)\cdot 2^{-t/T_{1/2}} }[/math],

där [math]\displaystyle{ T_{1/2} }[/math] betecknar halveringstiden.

Texten i ovanstående avsnitt kommer från Wikipedia.se

Ekonomiska modeller

Uppgifter

Antag att du köper en bil. Du räknar med att den sjunker i värde med 12 % om året. Vad är den värd om x år?

Din kompis lånar pengar av ett kreditinstitut. Den effektiva räntan verkar inte så farligt hög säger hen. Gå in på nätet och se vad de erbjuder för räntor och räkan ut vad det kostar på fem år med ränta på ränta. Kolla om långivarens uträkningar stämmer.

Din svåger har köpt en andelslägenhet i fjälen och ska hyra ut sin andel genom en förmedling. De erbjuder ett kontrakt där ersättningen ska vara 20 000 per år med en uppräkning på 3.5 procent per år. Ge ett motförslag som baserar sig på en lägre ersättning första året men ger mer pengar i slutändan. vad innebär det att tjäna mer pengar totalt sett?