Funktioner 2C

kan du rita en sån här? <ggb_applet width="681" height="450" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Funktion och graf

s 146

Teori funktionen f(x)

Vad står f(x) för? Funktionen f med variabeln x.

Lösa ekvationer med grafer

Definitionsmängd = x-värdena

Värdemängd = y-värdena

Hur ritar man en parabel om man vet funktionen?

Man gör en värde tabell. Tag ett lämpligt x-värde och skriv i tabellens x-kolumn. Räkna ut vad y blir genom att sätta in x-värdet i funktion. Skriv y-värdet i dess kolumn. Nu har du det första talparet. Upprepa med ett antal lämpliga x-värden tills du fått minst tre gärna fem talpar. Det är viktigt att du väljer talparen så att du hittar vertex (min- eller maxpunkten).

<ggb_applet width="852" height="423" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Andragradsfunktioner

Celler de Sant Cugat lateral

Det kan vara intressant att som bakgrund titta på denna sida om kägelsnitt.

Parabelns ekvation

Definitioner

Brännpunkt kallas också fokus

Styrlinje är en linje som används för att konstruera parabeln

GeoGebra som visar samma avstånd

<ggb_applet width="918" height="406" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Parabelns egenskaper i GeoGebra 1

Datorövning: Malin C GGB-övning

GeoGebra med styrlinje och fokus

<ggb_applet width="792" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Andragradsfunktionens graf

Parábola con foco y directriz

vertex är kurvans vändpunkt

nollställen

positivt före x²-termen betyder minimipunkt

negativt före x²-termen betyder maximipunkt

symmetrilinje genom vertex

Digitala rutan

Sidan 159.

Gör den i GeoGebra.

Kvadratiska modeller

Square root

Så här ser andragradsfunktionen ut på allmän form:

y(x) = ax² + bx + c

c anger var grafen skär y-axeln. a gör bland annat parabeln smalare eller bredare. bx-termen ger en diagonal förflyttning av hela kurvan (något förenklat uttryckt).

Exempel 1

ParabolicWaterTrajectory

Exempel 1 handlar om att man har en måttsatt bild och ska anpassa den allmänna funktionen y(x) = ax² + bx + c till dessa mått.

Här är det smart att placera origo symmetriskt i bilden och att kika på ställena där grafen skär x-axeln och där den skär y-axeln.

Uppgift: Anpassa den allmänna funktionen till vattenstrålen i bilden. Strålen når 2 m långt och är 1.5 m hög. {clear}}

Exempel 2

Exempel 2 i boken handlar om att titta på nollställena för en funktion för att hitta vertex mitt emellan nollställena och sätta in x-värdet och räkna ut y-värdet (högsta punkten i detta fall).

Parabelns egenskaper i GeoGebra 2

I Malins övning skriv kurvan på annan form (x-k)², osv. Nyttigt men vi hinner inte göra den på lektionstid. Gör den gärna hemma!

Digitala rutan samt detta avsnitt sid 160-164 ersätts av en Övning i Geogebra på Vertex och faktorform av Malin C.

Överkurs: Andra kägelsnitt Av Malin C. Pröva själv att konsttruera med hjälp av mittpunktsnormaler.

Överbliven provupgift (svår)

Parabolic trajectory

Bilden visar en kastparabel.

Tänk dig att kastbanans högsta punkt är 35 m.

Längden på kastet är 110 m.

Utgå från formen för andragradsfunktionen y(x) = ax² + bx + c

Gör en matematisk modell av kastbanan.

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner

må lektion 1

Jämför

Jämför med den allmänna formen för andragradsfunktionen:

y = ax2 + bx + c  (bortse från de sista termerna)

y = ax2           (a är en konstant, vi kan lika gärna skriva c)

y = C*x2           (tänk nu att vi kastar om x och 2)

y = C2x           (här har vi ett exempel på en exponentialfunktion)

y = C*1.5x     (Vi kan ha olika tal som höjs upp i x)
      
y = C*0.5x     

på generell form:

y = C*ax      talet a kallas basen. x är exponenten

Växande

Tänk på pengar på banken med ränta varje år. Pengarna växer med ränta på ränta. 15 % innebär en tillväxtfaktor om 1.15 (förändringsfaktorn). Antag att man har 2000 kr från början. Tillväxten blir då exponentiell. Det tar bara fem år till en fördubbling.

<ggb_applet width="640" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Avtagande

Diagtrammet visar en avtagande funktion. Det startar på 100. Sedan minskar det med 10 per minut. Förändringsfaktorn är alltså 0.9

<ggb_applet width="557" height="383" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Vatten i termos

Figuren nedan visar temperaturen hos vatten som får svalna i en termos. Mätvärdena har lagts i en lista som heter avsvalning i GeoGebra. Därefter har kommandot RegressionExp[avsvalning] använts för att anpassa en exponentiell funktion till värdena i listan.

Du ser på funktionen f(x) att basen är 0.98 (= förändringsfaktorn)

<ggb_applet width="1007" height="487" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />

Definitioner

y = Ca^x

växande a > 1

avtagande a < 1

C är skärningspunkt med y-axeln

a ej lika med 1, a > 0

Spegelkurvor

Spegelkurvorna nedan består av y = 4^x och y = (1/4)^x

4 och 1/4 är inverserna till varandra.

y = (1/4)^x kan skrivas som y = (4)^-x

Övning: Pröva att skriva in funktionerna nedan i GeoGebbra:

• y = (0.25)^x
• y = (1/4)^x
• y = (4)^-x

Vilken slutsats drar du?

<ggb_applet width="640" height="379" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Övning - GeoGebra

Rita själv funktionerna i bilden överst på sid 167

Skriv aLLTSÅ IN DESSA FUNKTIONER I ggb:

• y = 0.5^x
• y = 1^x
• y = 1.1^x
• y = 2*1.1^x
• y = 1.2^x
• y = 1.4^x
• y = 1.8^x
• y = 5^x

Fråga: Vad gör att en kurva ökar snabbare?

Exempel 1

Bestäm exponentialfunktionen där grafen går genom punkterna (0,2) och (5,6)

1. Sätt in x = 0 så får du C
2. Sätt in x 0 f och y = 6 i funktionen och räkan ut a

<ggb_applet width="700" height="407" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Exempel 2

Lös ekvationen 2^x = 1 + 3x grafiskt.

Lös även olikheten 2^x < 1 + 3x

Linjära och exponentiella modeller

må lektion 2 v 16

I detta avsnitt ska vi öva oss på att skilja på den linjära modellen och den exponentiella.

lIinjär: y = kx + m

exponentiell: y = yo*ax      (yo är samma sak som C i tidigare exempel)

Logaritmer och funktionen y = 10^x

Logaritmfunktioner, ritade för olika baser. Röd graf svarar mot basen e, grön graf mot basen 10, och lila graf mot basen 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Samtliga grafer avbildar punkten (1,  0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basen b, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x -> 0 från höger.

Logaritmen för ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas för att anta värdet a:

a = b^x

Logaritmernas uppfinnare anses skotten John Napier (1600-talet) vara.

Texten ovan från Wikipedia

Vad är logaritmer?

Tisdag

y=10^x

grafen visar y = 10^x

För varje x-värde finns ett y-värde som är 10^x

Omvänt gäller också: För varje y-värde finns ett finns ett x-värde som är log y

<ggb_applet width="482" height="516" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />

Definitioner

Logaritmen av a är den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a

eller

loga är talet 10 ska höjas med för att få a

eller

a = 10^x <==> x = loga

eller

log10^x = x

eller

10^loga = a

Andra beteckningar

Andra beteckningssätt för log₁₀ a är log a och lg a.

Grafen för logaritmerna

Graf över tiologaritmen

Diagnos

Kort diagnos: mathcentre Överkurs (limes)

Räkneregler för logaritmer

Onsdag v 16

Sats: Multiplikation

lg(a b) = lg a + lg b

Sats: Division

lg (a/b) = lg a - lg b

Sats: Potensräkning

 lg ap = p lg a

Något att klura på:

Vad är log(Googolplex)

Logaritmiska modeller

Torsdag v 16

Ekvationen 2^x = 3

Mån v 17

Tillämpningar på exponentiell förändring

Lektion 2, måndag v 17

Fler funktioner

Tisdag v 17

y = 1 / x är diskontinuerlig

y = lg x

y = x^0.5 (roten ur x)

Logaritmer på andra baser

2-logaritmen och 2^x

1/2-logaritmen

Repetition

Som planeringen ser ut har vi tre lektioner för repetition. Det är bra med tanke på att något kan gå bort tidigare.

• Onsdag v 17
• To v 17 går bort pga NP Sv
• Må v 18 Valborg = skoldag
• Tisdag v 18 = Ledig = 1:a maj
• Onsdag v 18 lektion som vanligt

Prov

torsdag den 3 maj, v 18