Induktionsbevis

Teori

Ett induktionsbevis är en av de enklaste formerna för bevisföring inom matematiken. Det är den vanligaste bevismetoden när man arbetar med talföljder, alltså en följd av naturliga tal, där man vill bevisa att något gäller för exempelvis alla positiva tal. Grunden är väldigt enkel att förstå, och det går lätt att expandera till svårare problem om man förstår de steg man behöver ta.

Induktionsbevisets mall

1. Induktionsbas
   • Visa att det gäller för ett basfall. Hitta ett tal och använd detta för att visa ett exempel där ekvationen stämmer.
   • Den vanligaste basen för uppgifterna på denna nivå, är ett eller två.
   • Ibland kan man behöva två baser, beroende på hur ekvationen i uppgiften ser ut.
2. Induktionsantagande
   • Antag att ekvationen stämmer för en okänd variabel.
   • Ofta innehåller ekvationen n eller x, då byter man ut denna till p och skriver "Vi antar att ekvationen stämmer för n=p"
3. Induktionssteg
   • Här kommer själva beviset. Du sätter nu variabeln från förra steget till n=p+1. På detta sätt ska du visa att "om det stämmer för förra steget, så ska det fungera med detta steg. Därigenom har du visat att det gäller för alla tal.
   • Det svåra är att kunna koppla ihop induktionsantagandet med induktionssteget. Man vill kunna hitta ett mönster som är gemensamt mellan de två stegen, som ska skilja sig på ett sådant sätt att man ser hur de hänger ihop.
   • Se delen Exempel för en tydligare förklaring.