Talet e

Teori

GGB - Talet e

Aktivitet

Härledning 1

Härledning 2

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Derivatan av exponentialfunktioner.

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Inledning

Talet e som förekommer i exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] är en matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828.

Definition
Exponentialfunktionen Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math] Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math]

Historik

Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = a^x visas för ett antal värden på a. Talet e är det enda a som gör att derivatan av f(x) = a^x vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, e^x, tangeras av den röda linjen (som har lutningen 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2^x (prickad kurva) och 4^x (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.

"e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} + 1 = 0 }[/math]

Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.

Wikipedia skriver om talet (e)

[redigera]

Klicka på funktioerna och deras derivator. Vad händer om basen är 2 respektive 3? Händer det något spännande om basen ligger mellan 2 och 3? Testa med glidaren.

[redigera]

Derivera en exponentialfunktion

Använd derivatans definition på funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].

Variera a med hjälp av glidaren. Vad upptäcker du och vad betyder detta?

Hitta talet e Grafiskt

Uppgift

Skriv in funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] i Geogebra. Skriv in [math]\displaystyle{ g(x) = f'(x) }[/math] Vi drar i glidaren till kurvorna sammanfaller. För vilket värde på a är derivatan och funktionen lika. Se också resonemanget på Matteboken.se Kontrollera också om det gäller att "Talet e är det enda a som gör att derivatan av [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] vid [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] är lika med 1.

[redigera]

Vid derivering av exponentialfunktioner av typen [math]\displaystyle{ a^x }[/math] , där [math]\displaystyle{ a }[/math] är en konstant uppkommer detta mönster.

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h} }[/math]

Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:

[math]\displaystyle{ a^x\cdot k }[/math] , där [math]\displaystyle{ k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} }[/math]

Om exempelvis värdet 2 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 0.69

Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 2^x }[/math] följande:

[math]\displaystyle{ f(x)=2^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x }[/math]

Om exempelvis värdet 3 insätts för a [math]\displaystyle{ a }[/math] går [math]\displaystyle{ k }[/math] uttryck mot [math]\displaystyle{ \approx }[/math] 1.1

Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ 3^x }[/math] följande:

[math]\displaystyle{ f(x)=3^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x }[/math]

Alltså ska talet som medför att [math]\displaystyle{ k=\frac{a^h-1}{h}=1 }[/math] befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som e.

Om vi följaktligen deriverar exponentialfunktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] blir derivatan följande:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x }[/math]

Derivatan för funktionen [math]\displaystyle{ e^x }[/math] motsvarar därför sig själv. Alltså:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=e^x }[/math]

[redigera]

Den här härledningen är svår och kräver att du utökar dina matematikkunskaper på egen hand.

[math]\displaystyle{ \begin{eqnarray*} f'(x)&=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{k(x+h)}-e^{kx}}{h} = \\ \\ &=& \lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{e^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(e)^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{((1+h)^\frac{1}{h})^{kh}-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{(1+h)^k-1}{h} = \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}1^{k-i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \cfrac{\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}h^i}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\lim_{h\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{k}\binom{k}{i}h^{i-1}{h}= \\\\ &=& e^{kx}\binom{k}{1}= \\\\ &=& ke^{kx} \end{eqnarray*} }[/math]

[redigera]

Kom igång med dessa uppgifter

Ange talet e med tre decimalers noggrannhet.

Beräkna värdet av [math]\displaystyle{ f(3) }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{x} }[/math]

Beräkna värdet av [math]\displaystyle{ f(2.55) }[/math] om [math]\displaystyle{ f(x) = 2 \cdot e^{\frac{x}{7}} }[/math]

Bestäm derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{x} }[/math]

Bestäm derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = e^{5x} }[/math]

Bestäm derivatan för [math]\displaystyle{ f(x) = 6 \cdot e^{5x} }[/math]

Bestäm lutningen för [math]\displaystyle{ f(x) = 2 \cdot e^{3x} }[/math] då [math]\displaystyle{ x = 5 }[/math]

Facit till de senare uppgifterna finns i filmen med Åke Dahllöf på teorifliken.

Fler uppgifter

Det finns två pdf-er på Canvas.

[redigera]

Hur man fann talet e

Lättfattlig beskrivning på naturvetenskap.org

Definition av talet e

e kan också definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math].

Detta beror på följande samband

[math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\cdot\frac{e^h-1}{h}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow 0}e^h-1= h }[/math]

[math]\displaystyle{ e=\lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h} }[/math]

Sätt [math]\displaystyle{ \frac{1}{h}=n }[/math], där [math]\displaystyle{ n\to \infty }[/math] då [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math]

[math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]

De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)ⁿ}, n = 1, 2, ... är följande:

[math]\displaystyle{ 2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543 }[/math]

I decimalform, avrundat till tre decimaler:

[math]\displaystyle{ 2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546 }[/math]

Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.

Wikipedia skriver om e(tal)