Linjära funktioner

Teori

Exempel

Begrepp

GeoGebra

Aktiviteter

Skissa grafen

Uppgifter

Lär mer

[redigera]

Räta linjens ekvation

Beskrivning

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

En film om linjära funktioner - Räta linjens ekvation från Matematikvideo.se

En vanlig form att skriva en linjär ekvation på är k-formen:

[math]\displaystyle{ y = k x + m \, }[/math]

där k kallas riktningskoefficient och m kallas konstantterm. Sett som en linje i ett koordinatsystem utgör k linjens lutning och [math]\displaystyle{ m }[/math] hur många enheter som linjen är förskjuten från[origo.

Om [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math] har linjen en positiv lutning medan den har en negativ lutning om [math]\displaystyle{ k \lt 0 }[/math].

Om [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] är funktionen konstant och linjen är parallell med x-axeln.

Två linjer med samma riktningskoefficient är parallella. Två linjer vars riktningskoefficienter multiplicerade med varandra blir -1 är vinkelräta mot varandra.

För att kontrollera om en punkt finns på linjen kan man helt enkelt sätta in punktens koordinater som [math]\displaystyle{ x }[/math] och [math]\displaystyle{ y }[/math] i ekvationen och se om vi får likhet.

Den här texten fanns där Wikipedia skriver om Linjär_ekvation

K- och m-värden

Riktningskoefficienten [math]\displaystyle{ k=\frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math]

Vi har redan sagt att x och y är variabler. Beroende på värdet på x, så förändrats värdet på y (funktionsvärdet). Vad innebär då konstanterna k och m?

k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen.

Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, vilket innebär att funktionsvärdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, att funktionsvärdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

Om k = 0 så har kurvan en horisontell lutning och kurvan ligger därför parallellt med x-axeln. (Notera att om k = 0, så kommer inte funktionsvärdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln - funktionsvärdet kommer i det här fallet att vara detsamma, konstant, oavsett den oberoende variabelns värde.)

m kallas konstantterm eller även intercept och bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x = 0, alltså där linjen skär y-axeln.

Om m-värdet är positivt, så kommer linjen att skära y-axeln ovanför origo, och om m-värdet är negativt, så kommer skärningen att gå under origo. Om m = 0, så brukar man inte skriva ut något m-värde och då kommer linjen att gå genom origo (alltså punkten (0, 0)).

Texten från matteboken.se

Beräkna k-värdet

Som vi skrev ovan betecknas lutningen på en rät linje som k, vilket även kallas för riktningskoefficient. Vi kommer nu gå igenom hur lutningen kan räknas ut.

Om vi vet två punkter på linjen, (x1,y1) och (x2,y2) kan vi med följande formel få fram lutningen:

[math]\displaystyle{ k= \frac{Förändring~i~ y-led}{Förändring ~i ~x-led} = \frac{Δy}{Δx} = \frac{y2−y1}{x2−x1} }[/math]

Beräkna m-värdet

Sätt in x = 0 i funktionen

[math]\displaystyle{ y = k x + m \, }[/math]

så får du m-värdet.

Matematisk definition av Linjär funktion

De "räta-linjen"-funktioner som behandlas här är i strikt mening inte linjära funktioner.

En linjär (blå) och en icke-linjär (röd) funktionsgraf. Se Bild:Linjär - icke linjär.png för mer information.

En linjär funktion är en funktion f(x) som uppfyller följande två krav:

• [math]\displaystyle{ f(x+y) = f(x) + f(y) }[/math] för alla x och y, och
• [math]\displaystyle{ f(\alpha x) = \alpha f(x) }[/math] för alla skalärer [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

Där x och y är reella tal (eller element i ett godtyckligt vektorrum, funktioner eller operatorer).

Om en funktion inte uppfyller ovanstående krav kallas den en olinjär funktion, eller en icke-linjär funktion.

Problem som ger upphov till linjära funktioner är oftare enklare att lösa än de som ger upphov till olinjära funktioner. Därför lineariseras i praktiken gärna icke-linjära system, det vill säga de approximeras med ett linjärt system, så att de blir lättare att lösa.

Polynom av grad ett kallas också, något oegentligt, för linjära, trots att de inte behöver uppfylla ovan nämnda krav. Ett vanligt namn för de polynomen är affina funktioner. Orsaken till förbistringen är att den grafiska bilden av en affin funktion alltid är en rät linje, medan bara de räta linjer som går genom origo representerar linjära funktioner enligt definitionen - "addition av x-värden ger adderat funktionsvärde".

Exempel på skillnaden i definitionen

Funktionen [math]\displaystyle{ f(x) = x + 3 }[/math] är en räta-linjenfunktion och kallas ofta linjär funktion i Matematik 1-kurser. Den uppfyller dock inte kraven för att vara en lunjär funktion, ovan. Exempelvis är [math]\displaystyle{ f(2x) = 2x + 3 }[/math] men det är inte lika med [math]\displaystyle{ 2 f(x) = 2x + 6 }[/math]

[redigera]

Exempel på linjära funktioner

Exempel
Några funktioner som är linjära [math]\displaystyle{ y = x }[/math] [math]\displaystyle{ y = 2x }[/math] [math]\displaystyle{ y = -x }[/math] [math]\displaystyle{ y = -x + 2 }[/math] [math]\displaystyle{ y = 0.5 x + 0.013 }[/math] [math]\displaystyle{ y = k x + m }[/math]

Bestäm funktionen

Exempel
Bestäm funktionen En glasskiosk säljer strutglass till följande priser: 2 kulor 20 kr 3 kulor 28 kr Hur mycket kostar struten Ställ upp en funktion för glasspriset. Lösning: ... TBD ...

Vad utmärker linjära funktioner

Till höger ser du tre grafiska representationer av linjära ekvationer.

Diskutera hur man kan läsa av k- och m-värdena för linjerna.

Filen finns på GeoGebraTube.org och heter Ma2C exempel sid 206 linjära funktioner

[redigera]

Begrepp och definitioner

Definition

rät betyder rak linjär betyder också rak, en rak linje. ordning. en funktions ordning beskriver exponentens högsta värde i ett uttryck eller en funktion. Linjära funktioner är av första ordningen. ju mer lutning beskriver hur brant en graf är. Hög lutning betyder att den håller sig närmare y-axeln (alltså inte att den lutar mer den ligger ner mot x-axeln). lutningskoefficient är ett värde på den linjära funktionens (grafs) lutning. graf (kurva) är den grafiska representationen av en funktion i ett koordinatsystem. plotta är slang för att rita en kurva. Jämför plotter. k-värdet är riktningskoefficienten. m-värdet är den konstanta termen i den linjära funktionen skära en axel betyder att grafen korsar axeln. Där räta linjen skär y-axeln har du m-värdet eftersom x är noll där. talpar kallas x- och y-värdet för en punkt i koordinatsystemet. koordinatsystemet är platsen där du ritar grafer i förhållande till x- och y-axeln avtagande funktion betyder negativt k-värde om det är en linjär ekvation

[redigera]

Bestäm k-värdet

En GeoGebra som förklarar det på ett (över)tydligt sätt:

Bestäm m

När du hittat k-värdet till din linjära funktion behöver du bara sätta in koordinaterna till en punkt i din ekvation och lösa ut m.

[redigera]

Räkna i Gleerups eller Kunskapsmatrisen.

Öka din förståelse av räta linjen med Geogebra

Filen är en översättning av en amerkiansk GGB. Min version finns på GeoGebraTube och heter Räta linjen k och m-värden.

Uppgift
Räta linjen med glidare Skriv in en egen funktion med glidare för k och m i GeoGebra. Leta rätt på knappen för att visa k-värdet som en triangel på grafen.

Bra interaktiv övning

Du kan testa dig själv med denna GeoGebraövning.

[redigera]

Skissa grafen på tavlan och förklara hur du tänker. Sedan visar vi grafen och du ser om du skissat rätt.

Därefter kan vi slå på alla grafer och sex personer kommer fram och drar streck från sin graf till funktionen till vänster.

[redigera]

Uppgiftsblad i canvas: Öva linjära funktioner

[redigera]

Linjär funktion - formell beskrivning.

ÖvningsGeoGebra

Linear Equation Generator

En movie. Jobba gärna i par. Varför inte spela in ljud till filmen?

Vinkelräta linjer

Alternativa förklaringar

Hemmapyssel - Räta linjen i Javascript

Några elever programmerade denna övning i Javascript. Du kan säkert göra något ännu bättre. Visa oss i så fall.

Räta linjen by TE12A

Instruktion till kodupgiften finns här: Räta linjen med Javascript.

Exit ticket