Cosinussatsen: Skillnad mellan sidversioner

Nuvarande version från 17 mars 2019 kl. 18.54

Cosinussatsen

Cosinussatsen, av Åke Dahllöf.

Om sinussatsen inte fungerar kan du prova cosinussatsen.

Nu har du lärt dig de tre triangelsatserna; areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

Definition
Cosinussatsen [math]\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\, }[/math]

Tänk! Vilken triangelsats tycker du är enklast att komma ihåg?

Rita in en höjd i den vänstra triangeln så att det bildas två trianglar som i den högra bilden ovan.
Använd Pythagoras för de båda trianglarna
x²+h² = a² (1)
(x-b)²+h² = c²
Förnkla uttrycket ger
x²+b²-2bx+h² = c²
Stuva om i termerna
x²+h² = 2bx + c²-b² (2)
Sätt x² + h² lika. Ekvation (1) i ekvation (2)
a² = c²-b²+2bx
Använd att x = acosC ger
a² = c²-b²+2bacosC
Stuva om så att c² står fritt ger
c² = a²+b²-2abcosC