Prov Derivator och extremvärden Ma3c

LaTeX

[math]\displaystyle{ \usepackage{epsfig} \usepackage{amssymb} \usepackage{latexsym} \usepackage{epic} \usepackage{eepic} \usepackage{amsmath} \usepackage{graphicx} \usepackage{graphics} \graphicspath{{fs1.ad.ssis.nu\tomas\Documents\Matte 3c/}} \usepackage{moreverb} \usepackage{subfigure} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[swedish]{babel} \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \textwidth 146 mm \textheight 230 mm \oddsidemargin 6mm \evensidemargin -1mm \topmargin -4mm \author{} \date{} \title{Ma3c Derivator och extremvärden \\ Fullst\"andiga l\"osningar!\\ \normalsize{$E\geq 7$\\ $C\geq 14$ varav 7 C\\$A\geq 23$ varav 3 A}} \begin{document} \maketitle \begin{enumerate} \item Derivera följande funktioner: \begin{description} \item a)24 februari 2019 kl. 14.41 (CET)$g(x)=-e^{3x}$\\ \item b)24 februari 2019 kl. 14.41 (CET)$f(x)=\cfrac{-3}{x^2}+x$\\ \item c)24 februari 2019 kl. 14.41 (CET)$h(x)=x\sqrt{x}$ \end{description} \begin{flushright} (1/1/1) \end{flushright} \vspace{8mm} \item $f(x)=2x^3-x^2+5$ \begin{description} \item[a)] Bestäm $f'(0)$. \begin{flushright} (2/0/0) \end{flushright} \item[b)] Bestäm $x$ så att $f'(x)=0$. \begin{flushright} (2/0/0) \end{flushright} \end{description} \vspace{8mm} \item För funktionen $f$ gäller att $f(x) = x^3+ \frac{3}{2}x^2-6x.$ Bestäm med hjälp av derivata koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf. Bestäm också karaktären för respektive punkt, det vill säga om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. \begin{flushright} (2/1/0) \end{flushright} \newpage \item Grafen visar funktionen $f(x)$. \begin{description} \item[a)] Bestäm med hjälp av grafen ändringskvoten: \large{$\cfrac{f(4)-f(1)}{3}$} \normalsize \begin{flushright} (2/0/0) \end{flushright} \item[b)] Om ändringskvoten är en centraländringskvot, för vilket $x$ är den en approximation av $f'(x)$? \begin{flushright} (1/0/0) \end{flushright} \end{description} \begin{center} \resizebox{!}{80mm}{\includegraphics{andringskvot.png}} \end{center} \vspace{15mm} \item En tangent till funktionen $f(x)=x^3-3x^2+2$ har samma lutning som $f'(-1)$. Vidare skär tangenten $x-$axeln då $x=\cfrac{25}{9}$. Bestäm koordinaterna för tangentens tangeringspunkt. \begin{flushright} (0/3/0) \end{flushright} \vspace{15mm} \newpage \item Grafen visar funktionen $f'(x)$. \begin{figure}[h] \begin{center} \resizebox{!}{80mm}{\includegraphics{derivatanstecken.png}} %funktionen är f(x)=1/4*x^4+1/3*x^3-x^2 \end{center} \end{figure} \begin{description} \item{a)} Skapa en teckentabell utifr\aa n~grafen. \begin{flushright} (1/1/0) \end{flushright} \item{b)} I vilka intervall \"ar $f(x)$ v\"axande? \begin{flushright} (0/1/0) \end{flushright} \end{description} \vspace{8mm} \item Maximera arean av den skuggade rektangeln. \begin{figure}[h] \begin{center} \resizebox{!}{60mm}{\includegraphics{maximeraarea.png}} %linjen är y = -5/6x+5, svaret 15/2 a.e. \end{center} \end{figure} \begin{flushright} (0/3/0) \end{flushright} \item Bestäm derivatan till $f(x)=\sqrt{x}$ med hjälp av derivatans definition. \begin{flushright} (0/2/2) \end{flushright} \vspace{15mm} \item En beh\aa llare inneh\aa ller fr\aa n b"orjan $0,2~l$ vatten. Man tills"atter svavelsyra till behållaren med en hastighet av $2~ml/min$ (kom ih\aa g SIV-regeln, syra i vatten!). Densiteten av svavelsyra "ar $1.84~g/cm^3 = 1.84~g/ml$. \begin{description} \item a) Best"am ett uttryck f"or koncentrationen, $g/cm^3$, av svavelsyra i beh\aa llaren efter $t$ minuter. \begin{flushright} (0/0/1) \end{flushright} \vspace{5mm} \item b) Antag att man tillst"atter svavelsyra i all o"andlighet. Vad kommer koncentrationen av svavelsyra i v"atskan att bli? \begin{flushright} (0/0/1) \end{flushright} \vspace{5mm} \item c) Vilka brister har din modell? \begin{flushright} (0/0/1) \end{flushright} \end{description} \end{enumerate} \end{document} }[/math]