|
|
| Rad 33: |
Rad 33: |
|
| |
|
| == [[Hållfasthet teori]] == | | == [[Hållfasthet teori]] == |
|
| |
| == Formler ==
| |
|
| |
| En strukturs förmåga att bära last då den belastas med enaxligt tryck eller drag bestäms av dess tvärsnittsarea, A. En tjock pelare kan exempelvis bära en större last än en smal, om båda är tillverkade av samma material. '''Normalspänning''' är en av de viktigaste storheterna inom hållfasthetsläran; den betecknas '''σ''' (sigma) och beräknas genom
| |
|
| |
| :<math>\sigma = \frac{F}{A} \qquad (1)</math>
| |
|
| |
| där ''F'' (Newton) är belastningen och A (m²) är tvärsnittsarean. Normalt brukar positiv riktning för kraften vara utåt, det vill säga dragspänning är positiv och tryckspänning negativ. Spänning har enheten N/m² som betecknas Pascal (Pa). Dessa formler gäller endast om strukturen inte knäcker samt att sträckgränsen för materialet inte överstigs.
| |
|
| |
| Då en struktur belastas kommer den även att få en viss '''formändring''', betecknat ''ε'' ('''epsilon'''). För att beräkna denna krävs att man känner till materialets [https://sv.wikipedia.org/wiki/Elasticitetsmodul elasticitetsmodul] (betecknas ''E'' och kallas vanligen E-modulen). '''E-modulen''' har enheten Pa och har storleken 200 GPa för stål. Tömningen (deformationen) beräknas genom
| |
|
| |
| :<math>\varepsilon = \frac{\sigma}{E} \qquad (2)</math>
| |
|
| |
| Detta värde anger hur mycket längre strukturen blir per längdenhet.
| |
|
| |
| {{svwp | Hållfasthetslära}}
| |
|
| |
| === Jämför med en fjäder som dras ut - Hookes lag ===
| |
|
| |
| [[File:Hookes-law-springs.png| 340px |right |Hookes-law-springs]]
| |
|
| |
| Skriv om (2) för att lösa ut spänningen:
| |
|
| |
| :<math> \sigma = E \cdot \varepsilon \qquad (3) </math>
| |
|
| |
| där <math> \sigma </math> är normalspänningen, <math> E </math> är elasticitetsmodulen och <math> \varepsilon </math> är deformationen.
| |
|
| |
| Hookes lag för en fjäder lyder ju:
| |
|
| |
| : <math> F = k \cdot x \qquad (4) </math>
| |
|
| |
| där F är kraften, k är fjäderkonstanten och x är fjäderns förlängning.
| |
| {{clear}}
| |
|
| |
| == En bjälkes böjning ==
| |
|
| |
| I boken Konstruktion (Yngve Nyberg, Lennart Kördel, Liber) hittar vi på sidan 97 en formel för spänningen:
| |
|
| |
| : <math> \sigma = \frac{M}W_B{} \qquad (5) </math>
| |
|
| |
| där <math> M </math> är momentet (kraftmoment eller vridmoment) och <math> W_B </math> är '''[https://sv.wikipedia.org/wiki/Böjmotstånd böjmotståndet]'''.
| |
|
| |
| '''Momentet''' '''M''' ges av formeln:
| |
|
| |
| : <math> M = F \cdot l \qquad (6) </math>,
| |
|
| |
| där '''F''' är '''kraften''' vinkelrätt mot balken och '''l''' är avståndet mellan änden på balken och den punkt där kraften verkar.
| |
|
| |
| Böjmotståndet är olika för olika typer av balkar. och det beror på balkens form (tvärsnitsyta). För en rektangulär balk gäller exempelvis att:
| |
|
| |
| : <math> W_B= \frac{B H^2}{6} \qquad (7) </math>
| |
|
| |
| där B är bredden och H höjden.
| |
|
| |
| Använder vi (2) och (5) får vi:
| |
|
| |
| : <math> \varepsilon= \frac{\sigma}{E} = \frac{M}{W_B \cdot E} \qquad (8) </math>
| |
|
| |
| === Beräkning på balken från experimentet ===
| |
|
| |
| Vi tog en 1.2 m lång 45 mm * 45 mm balk och pallade upp i ändarna och en person ställde sig på den ...
| |
|
| |
| : <math> \varepsilon = \frac{0.6m \cdot 800 N}{(45 \cdot 10^{-3} mm)^3 \cdot 12 \cdot 10^3 Pa} = 2.8 mm </math>
| |
|
| |
| E-modulen för trä är (enligt konstruktionsboken) 12 GPA.
| |
|
| |
| === Jämförelse med experimentellt uppmätta värden på deformationen ===
| |
| [[Fil:Skärmavbild 2015-12-03 kl. 00.37.38.png|340px|miniatyr|höger|Experimentella data för nedböjningen av en balk vid olika längd och en belastning av 81 kg på mitten.]]
| |
|
| |
| Med längden 1.2 m som i beräkningarna ovan fick vi en nedböjning på cirka 7 mm. Det är ett värde i samma härad som uträkningarna ovan. Deet skiljer en faktor två men det kan bero på dålig virkeskvalitet vilket ger en lägre E-modul.
| |
|
| |
| I konstruktionsboken finns en snarlik formel för
| |
|
| |
| : <math> \varepsilon = konst \cdot \frac{f l^3}{E \cdot l} \qquad (9) </math>
| |
|
| |
| Variabeln l är i kvadrat vilket stämmer väl med den kurvanpassning vi gjorde i GeoGebra:
| |
|
| |
| == Avancerade beräkningar ==
| |
|
| |
| Det är nyttigt att se hur beräkningarna görs på ett verkligt seriöst sätt.
| |
|
| |
| En oerhört noggrann hållfasthetsberäkning
| |
| : [http://www.traguiden.se/konstruktion/dimensionering/berakningsexempel/bostadshus/bjalklag-av-konstruktionsvirke-ej-lagenhetsskiljande/?previousState=1000 Träguiden] från Svenskt trä.
| |
|
| |
| En Formelsamling för konstruktörer med tabeller, etc:
| |
| : [http://lup.lub.lu.se/luur/download?func=downloadFile&recordOId=1329009&fileOId=1329010 Ingenjörshandbok] från Lunds Tekniska högskola
| |
|
| |
| WikiBooks: [https://en.wikibooks.org/wiki/Strength_of_Materials/Introductory_Concepts Strength of Materials] visar i alla fall på nyttan med integraler och derivator.
| |
|
| |
| En [http://pl.fredrika.se/Konstruktion_Filer/Formelsamling/formelsamling_2.htm formelsamling].
| |
|
| |
| == Formler och tumregler ==
| |
|
| |
| Det finns ett rekommenderat krav på relativ deformation av en bjälke på mindre än L/300
| |
|
| |
| == En dimensioneringsguide ==
| |
|
| |
| Ett alternativ till egna beräkningar är att använda en applikation på en hemsida som gör jobbet åt en. Det är bara att mata in måtten på regeln och så får man värden på deformationen.
| |
|
| |
| Svenskt trä har en [http://www.byggbeskrivningar.se/dimensionering dimensioneringsguide] där du anger vad du vill bygga, dimensioner och mått, mm. Du måste ange lite information om dig själv för att komma igenom guiden. Slutligen får du reda på hur mycket bjälken deformeras.
| |