Talet e: Skillnad mellan sidversioner

Från Wikiskola
Hoppa till navigering Hoppa till sök
VisuellWikitext
Rad 41: Rad 41:
Definition: <math> e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} </math>
Definition: <math> e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} </math>


= Härledning 2 =


Vid derivering av exponentialfunktioner av typen <math>a^x</math> , där <math>a</math> är en konstant uppkommer detta mönster.
{{defruta | '''Exponentialfunktionen'''


<math>f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}</math>
Om <math>f(x) = e^x</math> så är <math>f'(x) = e^x</math>


<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}     </math>
Om <math>f(x) = e^{kx}</math> så är <math>f'(x) = k e^{kx}</math>
}}


<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}a^x\cdot\frac{a^h-1}{h}    </math>
Definition: <math> e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} </math>
 
Alltså kan man uttrycka derivatan av exponentialfunktionen som:
 
<math>a^x\cdot k      </math>  , där <math>k=\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}    </math>
 
Om exempelvis värdet 2 insätts för a <math>a    </math> går <math>k    </math>  mot <math>\approx      </math> 0.69
 
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>2^x          </math> följande:
 
<math>f(x)=2^x</math>
 
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}2^x\cdot\frac{2^h-1}{h}\approx0.69\cdot2^x      </math>
 
Om exempelvis värdet 3 insätts för a <math>a    </math> går <math>k    </math> uttryck  mot <math>\approx      </math> 1.1
 
Därmed blir derivatan av exponentialfunktionen <math>3^x          </math> följande:
 
<math>f(x)=3^x</math>
 
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}3^x\cdot\frac{3^h-1}{h}\approx1.1\cdot3^x      </math>
 
Alltså ska talet som medför att <math>k=\frac{a^h-1}{h}=1      </math> befinna sig mellan 2 och 3. Detta tal har ett ungefärligt värde på 2.71828 och definieras som '''''e'''''.
 
Om följaktligen deriverar exponentialfunktionen <math>e^x      </math> blir derivatan följande:
 
<math>f(x)=e^x        </math>
 
<math>f^\prime(x) =\lim_{h\to 0}e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}=1\cdot e^x=e^x        </math>
 
Derivatan för funktionen <math>e^x      </math> motsvarar därför sig själv. Alltså: 
 
<math>f(x)=e^x </math>
 
<math>f'(x)=e^x </math>


= Aktivitet =
= Aktivitet =

Versionen från 23 oktober 2018 kl. 12.53

Teori

Ma3C: Integraler , sidan 184-188
Load video
YouTube
Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig att derivatan av [math]\displaystyle{ e^x }[/math] är[math]\displaystyle{ e^x }[/math] och varför det är så .


Inledning

Funktionsgrafer till kurvor på formen f(x) = ax visas för ett antal värden på a. Talet e är det enda a som gör att derivatan av f(x) = ax vid x=0 är lika med 1. Det illustreras genom att den blå kurvan, ex, tangeras av den röda linjen (som har lutningen 1) i punkten (0,1). Som jämförelse visas även 2x (prickad kurva) och 4x (streckad kurva), som inte har den röda linjen som tangent.

Talet e är den matematiska konstant som utgör basen för den naturliga logaritmen, ln. Dess värde är ungefär lika med 2,71828. "e" fick sin nuvarande beteckning av Leonhard Euler och kallas efter honom ibland Eulers tal. Talet är viktigt i bland annat matematisk analys och förekommer lite varstans i matematiken. Till exempel råder följande samband mellan nio av matematikens mest använda objekt:

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} + 1 = 0 }[/math]

Objekten som avses är operationerna addition, multiplikation, exponentiering och relationen likhet, samt talen e, π, i, 1 och 0. (Symbolen i betecknar den så kallade imaginära enheten och är det objekt med vilken de komplexa talen är uppbyggda.) Sambandet kallas Eulers identitet.

Wikipedia skriver om talet (e)


Definition
Exponentialfunktionen

Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math]


Definition: [math]\displaystyle{ e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} }[/math]


Definition
Exponentialfunktionen

Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math]


Definition: [math]\displaystyle{ e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} }[/math]


Definition
Exponentialfunktionen

Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = e^x }[/math]

Om [math]\displaystyle{ f(x) = e^{kx} }[/math] så är [math]\displaystyle{ f'(x) = k e^{kx} }[/math]


Definition: [math]\displaystyle{ e=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+ \cfrac{1}{n})^n = \lim_{h\rightarrow 0} (1+ h)^{\frac{1}{h}} }[/math]

Aktivitet

Derivera en exponentialfunktion

Använd derivatans definition på exponentialfunktionen


Definition av talet e

e kan också definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math].
Detta beror på följande samband
[math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\cdot\frac{e^h-1}{h}=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow 0}e^h-1= h }[/math]
[math]\displaystyle{ e=\lim_{n \rightarrow 0}(1+h)^\frac{1}{h} }[/math]
Sätt [math]\displaystyle{ \frac{1}{h}=n }[/math], där [math]\displaystyle{ n\to \infty }[/math] då [math]\displaystyle{ h\to0 }[/math]
[math]\displaystyle{ e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]
e

De sju första elementen i talföljden {(1+1/n)n}Mall:Sup sub    är följande:

[math]\displaystyle{ 2 \quad 9/4 \quad 64/27 \quad 625/256 \quad 7776/3125 \quad 117649/46656 \quad 2097152/823543 }[/math]

I decimalform, avrundat till tre decimaler:

[math]\displaystyle{ 2 \quad 2{,}250 \quad 2{,}370 \quad 2{,}441 \quad 2{,}488 \quad 2{,}522 \quad 2{,}546 }[/math]

Talföjden konvergerar tydligen ganska långsamt mot talet e.

Wikipedia skriver om e(tal)

Hämtad från ”https://wikiskola.se/index.php?title=Talet_e&oldid=48939”