Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 24 januari 2019 kl. 09.05

[redigera]

Sid 207-213 - Beräkna integraler

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig hur du beräknar integraler.

Definition

För en funktion f som är beroende av variabeln x och kontinuerlig på [a,b] beräknas integralen av f på följande vis:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) }[/math]

där F är en primitiv funktion till f.

Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler

Mål för undervisningen

Denna lektion kommer du att lära dig tre regler för integraler.

Definition

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx = \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx }[/math]

Fler användbara räknelagar

Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:

[math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]

förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;

[math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]

där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.

Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]

Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]

Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];

[math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].

Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.

Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.

[redigera]

Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.

Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten

Acceleration är lika med hastighetsökningen per sekund. Vid en konstant acceleration a, gäller då att:

v = v₀ + at

v₀ är hastigheten vid start och t är så klart tiden från start.

Exempel: Fru Gran tapper en blomkruka genom fönstret. Vilken hastighet har den 1,5 sekunder senare?

t = 1,5 s. a = g = 9,82 m/s².

v = at = 9,82 m/s² * 1,5 s = 14,7 m/s

Arean

Arean under en vt-graf är lika med sträckan. Tänk att medelhastigheten * tiden = sträckan.

v_m = (v_efter - v_före) / 2

Men sträckan är ju v_m * t och det kan man ju se som arean av cen triangel som bildas av grafen i vt-diagrammet.

naturvetenskap.org ger en beskrivning.

Animering av sträcka under vt-kurva

<swf width="600" height="400">/images/FysikA_s_e_area_u_vt_kurva_2.swf</swf>

Khan om sträcka = area under vt-kurva

Sträckan

s = v₀t + at²/2

Geometriskt bevis

Wikipedia: Fundamental_theorem_of_calculus

For a continuous function y = f(x) whose graph is plotted as a curve, each value of x has a corresponding area function A(x), representing the area beneath the curve between 0 and x. The function A(x) may not be known, but it is given that it represents the area under the curve.

The area under the curve between x and x + h could be computed by finding the area between 0 and x + h, then subtracting the area between 0 and x. In other words, the area of this “sliver” would be A(x + h) − A(x).

There is another way to estimate the area of this same sliver. As shown in the accompanying figure, h is multiplied by f(x) to find the area of a rectangle that is approximately the same size as this sliver. So:

[math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x) \approx f(x)h }[/math]

In fact, this estimate becomes a perfect equality if we add the red portion of the "excess" area shown in the diagram. So:

[math]\displaystyle{ A(x+h)-A(x)=f(x)h+(\text{Red Excess}) }[/math]

Rearranging terms:

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{A(x+h)-A(x)}{h} - \frac{\text{Red Excess}}{h} }[/math].

As h approaches 0 in the limit, the last fraction can be shown to go to zero, which implies

[math]\displaystyle{ f(x) = \lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}. }[/math]

This implies f(x) = A′(x). That is, the derivative of the area function A(x) exists and is the original function f(x); so, the area function is simply an antiderivative of the original function. Computing the derivative of a function and “finding the area” under its curve are "opposite" operations. This is the crux of the Fundamental Theorem of Calculus.

Läs gärna vad Wikipedia skriver om Analysens_fundamentalsats även om det är på en hög nivå för det är så häftigt.

Förklaring med hjälp av Riemannsumman

Integral - Riemannsumma

Kan man tänka sig någon trevlig frågeställning som ingång till integralerna?

Börja med att visa Riemannsumman för att ta reda på arean under en graf.

GeoGebra om Riemannsumma in här

Övning Riemannsumma i GGb

Uppgift

laborera själv i Geogebra

Denna GGB ger dig möjlighet att flytta stapeln och att testa olika funktioner.

Du kan ändra på antalet staplar och se hur det påverkar beräkningen.

Här är GGB:n:

Vad lärde du dig av denna övning?

uppg 2

Testa denna: http://www.geogebratube.org/student/m11330

Hur hanteras negativa areor?

Uppg 3

Man kan skapa Riemannsummor mellan två funktioner:

Newtons Integralbevis

Newton's Integrability Proof from the Wolfram Demonstrations Project by Michael Rogers

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-{{lm3c| Integraler | ss }}
+= Teori =
 {{#ev:youtube| 2Eo3WbhHS3M | 340 | right |Sid 207-213 - Beräkna integraler}}
 {{malruta|
@@ Rad 14: / Rad 14: @@
 }}
-== Exempel från fysiken ==
+{{#ev:youtube| 91sZkwBK7ps | 340 | right |Sid 221-226 - Areaberäkning med hjälp av integraler}}
+{{malruta|
+Denna lektion kommer du att lära dig tre regler för integraler.
+}}
+{{defruta |
+:  <math>\int_a^b \! k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int_a^b \! f(x)\,dx</math>
+<br />
+:   <math> \int_a^b \! f(x)\,dx + \int_a^b \! g(x)\,dx   =  \int_a^b \! f(x) + g(x)\,dx </math>
+<br />
+:   <math> \int_a^b \! f(x)\,dx - \int_a^b \! g(x)\,dx   =  \int_a^b \! f(x) - g(x)\,dx </math>
+}}
+== Fler användbara räknelagar ==
+Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:
+:<math>\int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx</math>
+::förutsatt att konstanten ''a'' inte är lika med noll;
+:<math>\int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx</math>
+::där ''f(x)'' och ''g(x)'' är oberoende funktioner.
+Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:
+:<math>\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx</math>
+:<math>\int_a^a f(x)dx = 0</math>
+:<math>\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx</math>
+Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:
+:<math>\int f(x)dx = \int f(t)dt</math>
+Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:
+:<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C</math>;
+:<math>\int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C</math>.
+Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.
+Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.
+= Exempel från fysiken =
 [[Fil:Trapez_vt.png|thumb|Sträckan = arean under en vt-graf. CC By Tharbad]]
@@ Rad 121: / Rad 160: @@
 * http://www.geogebratube.org/student/m26214
 * http://www.geogebratube.org/student/m26213
 {{clear}}
@@ Rad 130: / Rad 168: @@
 <script type='text/javascript' src='http://demonstrations.wolfram.com/javascript/embed.js' ></script><script type='text/javascript'>var demoObj = new DEMOEMBED(); demoObj.run('NewtonsIntegrabilityProof', '', '549', '620');</script><div id='DEMO_NewtonsIntegrabilityProof'><a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/NewtonsIntegrabilityProof/' target='_blank'>Newton's Integrability Proof</a> from the <a class='demonstrationHyperlink' href='http://demonstrations.wolfram.com/' target='_blank'>Wolfram Demonstrations Project</a> by Michael Rogers</div>
 </html>
+= Lär meer =
+== Mer om integraler ==
+{{#ev:youtube|OAN8qa-pnIo|340|left}} {{#ev:youtube|i8JPiQ3Ujyc|340|right}}
+{{clear}}
+[http://www.proofwiki.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Calculus ProofWiki]
+{{clear}}
+{{flipped | Lös uppgifterna 4317 - 4332. Läs på om [[Tillämpningar av integraler]].
+}}
 == Exit card ==
@@ Rad 140: / Rad 193: @@
 [[Fil:NpMa3c_ht_2012_Uppgift_15_-_facit.png | 600px |vänster]]
 }}
+<headertabs />

Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 24 januari 2019 kl. 09.05

Innehåll

Fler användbara räknelagar

Begynnelsehastighet och förändring av hastigheten

Arean

Animering av sträcka under vt-kurva

Sträckan

Geometriskt bevis

Förklaring med hjälp av Riemannsumman

Övning Riemannsumma i GGb

uppg 2

Uppg 3

Newtons Integralbevis

Mer om integraler

Exit card

Navigeringsmeny

Bestämda integraler: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 24 januari 2019 kl. 09.05

Fler användbara räknelagar

Navigeringsmeny

Sök