Exponentialfördelningen

Täthetsfunktion

Definition

Exponentialfördelningen Exponentialfördelningen är kontinuerlig sannolikhetsfördelning med täthetsfunktionen [math]\displaystyle{ f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x \lt 0. \end{cases} }[/math] Där :[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] är antalet händelser per tidsenhet. Eller intensiteten för händelser. Exponentialfördelningen beskriver tiden tills en händelse inträffar

[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] kan ha olika betydelser i olika sammanhang:

• händelseintensitet
• felintensitet (livslängden för en komponent)
• felfrekvens
• dödstal
• övergångshastighet
• ankomsthastigheten

Exempel på variabler som är approximativt exponentialfördelade är

• Tiden tills någon råkar ut för sin nästa bilolycka
• Tiden tills någon får sitt nästa telefonsamtal
• Avståndet mellan mutationer på en DNA-sträng

En viktig egenskap hos exponentialfördelningen är att den "saknar minne". Med andra ord, chansen att tillståndet kommer att förändras inom de nästa s sekunderna påverkas inte av den tid som redan förflutit.

Hemuppgift

Uppgift
Vad är [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]? Läs vad Wikipedia skriver om Exponentialfördelning eller ännu hellre Wikipedia: Exponential_distribution och ta reda på hur [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] förhåller sig till: medelvärdet standardavvikelsen Fundera över frågorna under GeoGebran nedan.

Exempel med glödlampa

Exponentialfördelningen kan användas för att bestämma en glödlampas livslängd. Lambda är 0.05 och x är antalet månader.

Lambda är 1 / medellivslängden för en glödlampa.

Frågor

Vad innebär frekvensfunktionens skärning med y-axeln?

Vad är innebörden av linjen "hälften"?

GeoGebran

Fördjupning

En text från Chalmers som beskriver Våra vanligaste fördelningar.