Mer om integraler: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) Ingen redigeringssammanfattning |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 8: | Rad 8: | ||
:defdefdefdef | :defdefdefdef | ||
}} | }} | ||
== Användbara räknelagar == | |||
Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas: | |||
:<math>\int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx</math> | |||
::förutsatt att [[konstant]]en ''a'' inte är lika med noll; | |||
:<math>\int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx</math> | |||
::där ''f(x)'' och ''g(x)'' är oberoende funktioner. | |||
Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas: | |||
:<math>\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx</math> | |||
:<math>\int_a^a f(x)dx = 0</math> | |||
:<math>\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx</math> | |||
Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln: | |||
:<math>\int f(x)dx = \int f(t)dt</math> | |||
Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner: | |||
:<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C</math>; | |||
:<math>\int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C</math>. | |||
Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet. | |||
Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner. | |||
== Mer om integraler == | == Mer om integraler == | ||
Versionen från 18 april 2016 kl. 22.28
| Definition |
|---|
|
Användbara räknelagar
Vid integrering gäller samma linearitetsegenskaper som vid derivering. Utifrån denna definition kan följande egenskaper hos integraler härledas:
- [math]\displaystyle{ \int a\cdot f(x)dx = a\cdot\int f(x)dx }[/math]
- förutsatt att konstanten a inte är lika med noll;
- [math]\displaystyle{ \int\left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }[/math]
- där f(x) och g(x) är oberoende funktioner.
Utifrån en geometrisk tolkning kan ytterligare egenskaper hos integraler påvisas:
- [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_a^a f(x)dx = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx }[/math]
Dessutom påverkas inte integreringen av integrationsvariabeln:
- [math]\displaystyle{ \int f(x)dx = \int f(t)dt }[/math]
Följande två satser är användbara vid analytisk beräkning av primitiva funktioner:
- [math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C }[/math];
- [math]\displaystyle{ \int f(x)\cdot f'(x)dx = \frac{f(x)^2}{2} + C }[/math].
Den senare kan sägas vara den omvända kedjeregeln och man ser enkelt att båda gäller genom att derivera högerledet.
Dessa regler, tillsammans med partialintegration och lämpliga variabelbyten, utgör grunden för att analytiskt bestämma primitiva funktioner.
Mer om integraler
Mekaniken
Jämför med mekaniken, sträckan är arean under en vt-graf.
Tillämpningar - exempel på cirkelns area
Det finns många praktiska tillämpningar av integraler och nedanstående exempel är snarare ett sätt att visa att formeln stämmer. Men tillvägagångssättet är lätt att kopiera till andra områden därför passar det här.
Beräkning av cirkelskivans area med koncentriska skal
Om cirkelskivan delas upp i koncentriska ringar med omkretsen [math]\displaystyle{ 2\pi t }[/math] kan arean beräknas med integralen
- [math]\displaystyle{ A = \int_0^{r} 2 \pi t \, dt = \left[ 2\pi \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{r} = \pi r^2 }[/math]