Lektion 6 Sinussatsen: Skillnad mellan sidversioner
Hoppa till navigering
Hoppa till sök
Hakan (diskussion | bidrag) (Skapade sidan med ' {{#ev:youtube|R1Sjs8FIu38|240|right|Sinussatse}} 300px <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math> === Hä...') |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math> | <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} </math> | ||
=== Härledning === | === Härledning 1 === | ||
# Ställ upp areasatsenför alla tre vinklar. | # Ställ upp areasatsenför alla tre vinklar. | ||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
# Dividera med abc | # Dividera med abc | ||
<br /> | <br /> | ||
=== Härledning 2 === | |||
== Härledning == | |||
<div style="float:right;margin:0 0 1em 1em;">[[Fil:Law of sines proof.svg]]</div> | |||
Antag en triangel med sidorna ''a'', ''b'' och ''c'' och med de motstående vinklarna ''A'', ''B'' och ''C''. En linje med längden ''h'' och vinkelrät mot sidan ''c'' är dragen från hörnet ''C'' till motstående sida ''c'' eller sidan ''c'':s förlängning. | |||
Då är | |||
:<math>\sin A = \frac{h}{b}</math> | |||
och | |||
:<math>\; \sin B = \frac{h}{a}</math> | |||
Vilket är ekvivalent med | |||
:<math>h = b\,\sin A = a\,\sin B</math> | |||
och | |||
:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}</math> | |||
Om linjen dras mellan vinkeln ''A'' och sidan ''a'' och samma procedur upprepas blir resultatet | |||
:<math>\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}</math> | |||
{{svwp|sinussatsen}} | {{svwp|sinussatsen}} | ||
<br /> | <br /> | ||
Versionen från 9 september 2015 kl. 20.55
[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} }[/math]
Härledning 1
- Ställ upp areasatsenför alla tre vinklar.
- Förläng med 2.
- Dividera med abc
Härledning 2
Härledning
Antag en triangel med sidorna a, b och c och med de motstående vinklarna A, B och C. En linje med längden h och vinkelrät mot sidan c är dragen från hörnet C till motstående sida c eller sidan c:s förlängning.
Då är
- [math]\displaystyle{ \sin A = \frac{h}{b} }[/math]
och
- [math]\displaystyle{ \; \sin B = \frac{h}{a} }[/math]
Vilket är ekvivalent med
- [math]\displaystyle{ h = b\,\sin A = a\,\sin B }[/math]
och
- [math]\displaystyle{ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} }[/math]
Om linjen dras mellan vinkeln A och sidan a och samma procedur upprepas blir resultatet
- [math]\displaystyle{ \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} }[/math]
