Analytisk geometri Ma2C: Skillnad mellan sidversioner

Versionen från 16 april 2013 kl. 08.54

Nu kommer en kort repetition

Första delen är en mall som inkluderats från Ma1C. Därefter kommer övningen med räta linjen i javascript.

Räta linjen Intro (från Ma1C)

Räta linjens funktion

Repetition: Förra gången stiftade vi bekantskap med en parabel som naturligtvis låter sig ritas i GeoGebra. En av kurvorna är precis den som kommer ur bokens Exempel 1 på sidan 197.

Man kan naturligtvis rita kurvan i Wolfram Alpha oxå. Det är bara att högerlicka på uttrycket i GeoGebra och kopiera till inmatningsfältet. Wolfram Alpha finns förresten som en Gadget till er som har Vistra eller 7:an.

Lutning på GeoGebra.se
taxifärd från Geogebrainstitutet
linjär funktion med glidare från Geogebrainstitutet

Här kommer en grafisk lösning till exempel 2 på sidan 106 (GeoGebra):

Andra ställen att öva grunderna i räta linjen

Klurig läxa

Tristan och Isolde

Räta linjen som övning i javascript

JavaScript och räta linjen

Javascript och spel Kod: CC By SA spelprogrammering.nu

En matteövning med Räta linjens ekvation

Kursen Ma1C går i ett rasande högt tempo och den här övningen syftar till att ge dig mer tid för att reflektera över matten och samtidigt nöta in några verkligt centrala begrepp. Samtidigt lär du dig mer programmering i Javascript.

Uppgift

Gör om och förbättra ett Räta linjen spel

Börja med att köra spelet som det ser ut i länkarna nedan. Se till att du kan matematiken och förstår koden. Sedan ska vi förbättra programmet. Du kan arbeta med någon av punkterna nedan. nästa lektion kan vi lägga ihop alla bra bidrag till ett suveränt spel.

Förbättra designen
Skriv tydligare förklaringar
Se till så att punkterna inte hamnar över varandra (på samma vertikala linje)
hantera vad som händer om man matar in kommatecken eller bråk
Ersätt pop up-rutorna med ett inmatningsformulär
Kontrollera om linjen hamnar rätt och ge respons på det
Redovisa hur många poäng man får (antal rätt och fel)
Animering. Låt en figur (som får ett m-värde och ett k-värde) vandra efter linjen.

eller gör ett nytt program som

slumpar k och m
rita linjen
gissa k och m

Filer:

Så här blev det med era förbättringar: Räta linjen by TE12A

Bilder, kontroll om man gjort rätt, etc.

Nu är det slut på mallen med repetition från Ma1C.

Koordinatgeometri

s. 92- 101

Torsdag v 8.

RikardM - Avståndsformeln

Mittpunktsformeln

"P1" är punkten 1, "P2" är punkten 2, och "M" visar var exakt var mitten av punkterna P1 och P2 är. Bilden är tagen från Wikipedia.

Mittpunktsformeln är en mattematisk ekvation.
Två punkter P1 och P2 som kan ligga precis var som helst i 
ett  kordinatsystem, med hjälp av mittpunktsformeln bestämma 
punkten mitt emellan Punkt1 och Punkt2 som har benämningen M.

Definition 1:

(X1,Y1) och (X2,Y2)
(Xm,Ym)= (X1+X2/2),(Y1+Y2/2)
Förklaras i videon

Definition 2:

Det gick inte att placera definitionen från Wikipedia, eftersom den inte stöds,
gå in på länken och se efter själv:Wikipedia, Mittpunktsformeln
O = Origo.
M = Punkten mellan P1 och P2.
P1 = Punkt1.
P2 = Punkt2.

Exepel på problem

Du har två punkter (1, -2) och (-3, 5), hitta mittpunkten av de två punkterna med hjälp
av mittpunktsformeln.

Lösning

y 1 = -2, x 2 = -3 och y 2 = 5.

Länkar - Mittpunktsformeln

y=kx+m

       K = lutningen. Man kan räkna ut K om man har två koordinater t ex x1-x2/y1-y2 = K
       M = Var linjen skär y-axeln
       Exempel uträkning med koordinater.
       (-1,1) (1,5)
       y= valfri Y-koordinat, vi väljer 5. Formeln blir då 5=kx+m
       vi räknar ut k
       k=(x1-x2)/(y1-y2)= 5-1/1-(-1) = 4/2 = 2, k=2. Formeln blir då 5 = 2x+m
       x = 1. Formeln blir: 5 = 2*1+m. Tar bort 2 på båda sidor. 
       M= 3

Länkar:

Riktningskoefficienten

Ma2C: Riktningskoefficienten, sidan 102 - 104

Håkan länkar

riktningskoefficienten

Definition

Riktningskoefficienten

[math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]

Exempel

Bestäm k

Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (1.2) och (4.-3)

Vi räknar ut riktningskoefficienten med hjälp av x- och y-värdena ovan:

[math]\displaystyle{ k = \frac {-3-2}{4-1} = \frac{-5}{3} =- \frac {5}{3} }[/math]

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-4.png

http://www.matteguiden.se/wp-content/uploads/2010/01/linjes-lutning-3.png

Definition - räta linjens ekvation

[math]\displaystyle{ y = kx+m }[/math]

Ett Exempel + uträkning till exemplet

Fråga 1

Erika anställer en städslav och får betala för 4 timmar 450 kr och för 9 timmar 990 kr Erika betalar både grundavgift och en avgift per timme. Hur stor är avgiften Erika måste betala?

Uträkning till fråga 1

Tänk så här:

Kostnaden ökar med 990kr-450kr= 540kr

Tiden ökar med 9-4= 5timmar 990-450/9-5=540/2= 225

Avgiften per timme blir = 225 kr

Länk

[riktningskoefficienten ]

Ta fram räta linjens ekvation

Här ska vi lära oss hur man tar fram räta linjens ekvation om man bara har två punkter att utgå ifrån eller om man har en punkt och linjens lutning. Det är alltså så att om man vet två saker om sin lenje så kan man ta fram räta linjens ekvation och skriva den på formen y 0 kx + m.

Det handlar alltså om att hitta värdena för k och m.

Definition

Att hitta räta linjens ekvation

För att rita en rät linje eller för att skriva dess ekvation behöver du antingen:

två punkter på linjen eller
en punkt på linjen och dess lutning

En punkt på linjen kan vara att veta var den skär en axel, exempelvis y-axeln.

Hitta k

Egentligen kokar det ner till att man behöver hitta k och m. Om man inte redan har fåt k angivet i uppgiften så tar man fram det på det viset vi lärt oss tidigare:

[math]\displaystyle{ k = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math]

Hitta m

Om vi har k så är vi halvvägs framme vid att kunna skriva räta linjens ekvation. Det som saknas är ett m-värde.

m-värdet får vi genom att använda en punkt på linjen. Punkten har ju ett värde på x och y som vi sätter in i räta linjens ekvation tillsammans med vårt k-värde.

[math]\displaystyle{ y = kx + m }[/math]

Då är det ju bara m som är obekant.

Exempel

Bestäm m

[math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] och en punkt är [math]\displaystyle{ (3,5) }[/math]

Sätter man in värdena så får man:

[math]\displaystyle{ 5 = 2 * 3 + m }[/math]

Vilket ger:

[math]\displaystyle{ m= 5 -2 * 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ m= 5 -6 }[/math]

[math]\displaystyle{ m= -1 }[/math]

Således: kan vi skriva räta linjens ekvation som

[math]\displaystyle{ y= 2 x - 1 }[/math]

Parallella och vinkelräta linjer

Onsdag 10.30-12

s. 110- 112

Två linjer är parallella om de har samma riktningskoefficient.

Parallella linjer

k₁ = k₂

Två linjer är vinkelräta om produkten av riktningskoefficienterna är minus ett.

Vinkelräta linjer

k₁ * k₂ = -1

<ggb_applet width="498" height="595" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

SimonS - parallella och vinkelräta linjer

http://www.youtube.com/watch?v=nZuko8vyVs4

http://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/funktioner/linjara-funktioner-y-=-kx-plus-m

Ytterligare en sida för dej som fortfarande inte förstår vad det handlar om.

http://www.malinc.se/math/functions/perpendicularlinessv.php

Fin sida för dej som satsar på högre betyg på provet än E/D. c:

Allmän form (linjens ekvation)

Ma2C: allmänn form, sidan 113- 115

<ggb_applet width="571" height="319" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Hyr skidutrustning

Uppgift: Kostnaden för att hyra skidor i Romme

1. Priset för en vuxen at hyra skidutrustning under en dag är 270 kr. Om man hyr i fem dagar kostar det 850 kr. Gör en modell för detta och beräkan priset per dag och den eventuella startkostnaden. Redovisa en ekvation för priset som funktion av antalet dagar.

2. Gå in på länken nedan och studera priserna. Rita grafer. Är priset en linjär funktion av tiden? http://www.rommealpin.se/priser-1__1053

Facit: (klicka expandera till höger)

Se ett diagram över Rommepriserna här.

Ekvationssystem (grafiskt)

s. 116-119

Två räta linjer = Ekvationssystem

Här har vi två ekvationer. Det är ekvationer med x och y. Var och en är en ekvation för en rät linje. De har skrivits på en form där variablerna (x och y) står till vänster och numeriska värdena (siffrorna) till höger.

Ekvationerna har döpts med ett nyummer som skrivs inom parentes, (1) och (2). Vi döper ekvationerna för att kunna beskriva hur vi jobbar med dem.

Det kallas för ett ekvationssytem:

<ggb_applet width="515" height="329" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Man kan lösa ekvationssystem och få fram vilken punkt som gäller för båda ekvationerna. man kan lösa detta algebraiskt eller grafiskt.

Grafisk lösning sid 116 nedre delen, motorcyklar:

<ggb_applet width="792" height="457" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Ersättningsmetoden

Ma2C: Ersättningsmetoden, sidan 120-122

Vad innebär det att två linjer skär varandra? Jo de har samma x-värden och y-värden.

<ggb_applet width="634" height="250" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAHxYaEIAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAHxYaEIAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVdtb9s2EP6c/oqDPic2X0RJLuwWaYFiBdKiWLph2DdKYmw2sqhJ9EuK/PgdSclWnK1bk6EYEvtE8XjHe+7uIT1/vV9XsFVtp029iOiERKDqwpS6Xi6ijb25yKLXr17Ml8osVd5KuDHtWtpFFE9YdFyHownjbrEuF9EsLlLFlLqIqRL4Vc4ucirLC3mT5owzxmQhI4B9p1/W5qNcq66RhbouVmotr0whrbe5srZ5OZ3udrvJ4H1i2uV0ucwn+66MAHded4uof3iJ5h4s2nGvzgih098+XAXzF7rurKwLFYGLaqNfvTib73Rdmh3sdGlXiyiJRQQrpZcrDJOLWQRTp9RgrI0qrN6qDpeOhj5mu24iryZrN38WnqA6hBNBqbe6VO0iIhNOCUlTQWc8nWVxPEsiMK1Wte2Vae90Opibb7XaBbvuybuMySzFHOhO55VaRDey6jAsXd+0CCnuqN3gsLN3lcplO4yPG6Ln+IcK+qtytjB3AQcMOiXnNIvPU0LOhSBhL2PHEVhjKm+VgJjB/T0wwgicO0GDYCiSJEyR8I7wIFgQcRAi6MRheRxU46ATB52YfyPOfnwMtH/xINIhTj6OE5Nw7j4JfjwAJ3FmozipC+IeqNu9FxzcvqnfvxNxP0zCMPWCkiBoP5m5L49X8syI+JMioiOvoR6+x+mhWJj49y7Zc1weomR/FSUTfxPlM8EdnFIxcoq+/L//PHLJ2fe4fNSKT/CYxM/p/Sc4TMmPcDifDkw373sPupXT7WvHqnXnWIfPPPEABYGNmaTIEwLoDEXqGpQBFRALHNIMEidT4K4nY+CQgdOjHDy9iAy/Yt+vCQi05V6moXGBxyA4UE9KMSAVgSc2JDnGUUMIELjIeafOLU8gTnDAM4hxg47SUkcbHNfhGJ0z4BS4W0tTYAkkDFJHizR2bJlkbu9olEFCIHFLkReREwMf4ooMuIsGK7wxnT6Au1JVc8iKx1HXzcY+wK5Yl8OjNSfapSlu35xgrWRnh2dUwsPoeOaFw+nBkXg2r2SuKrw4XLsyANjKynWwt39jagtDCbDwbtnKZqWL7lpZi6s6+CK38kpatX+H2t2wQe/an9RztSkqXWpZ/4o14kw4gzAc3J6WhoObcRK8FMa05fVdh4UD+99Va5DX2SSLSZYljKecpDGeondhhiZikomUkoQywbMUu7orpCv4hE4SlqVC8CThM045ZuDuOJelCZ5SNMHLDcEp71ltD5HJveoGKJet66YefDd4370x1fFVY3Rt38rGblp/CUMObF1Ml/WyUh5an3G8zhS3udlfB0x5sPX5rsFRH3q+fGsq0wL2IxOIzbKXeZBex+3soEW8DvEaZEiSLg/zdMa8hpd5kF4Lsx621kdKhzApGdzozrMIGh/XmC8Zdzna1NpeDQOri9tjpE7/42adY7X1yx6apP+Ryfn0pL7mt6qtVRWqqMZMbsymC2V9KM2z+aZTn6RdXdblz2qJ/fhJOkq0aDqoHndcqkKvcWF430MnXVp/wa2Gt6VatmqIsPK33gCsn31Q049ee1PvWrN+X28/Y82cbHU+HeKZd0WrG1eakCNH36pj9ZW6k8jw5XgdBt9hFIVjGwTSOhAjkBu7Mq2/2GLPYlfBB4kxM4K16Hq1Umu80IL1FekK5JAa6W/KLgdg8i9IICepG4GL88fqE9xXn6B9gYKsmpV09+kegEreqfYBJN7iB1OeAoV58NEgLTTOgKuJRqlQTbZvImjQoO/B0Y489h3sF9GF/7V01/9q+hrkSTtYJLhbvMJjmYmRYffwky5L5dk7sMUfdVjShSpV+6bShbZ9ZQY0v41r/jRcQ9d7dP8PsLITVC/Ej4C1MOu1rEuo/XXmfe36FxGMjkepJK5yQVIHdABxY4eJy2Cvt/IoTZ7TD3m4/Ic8HRljnKYDhVPx3EQdwU56sHkPNh9M+R27syUsFOO3J8QzhnE65gp/cPc/3V/9CVBLBwgDYLjMyAUAAGoQAABQSwECFAAUAAgACAB8WGhC1je9uRkAAAAXAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAHxYaEIDYLjMyAUAAGoQAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF0AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAAXwYAAAAA" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />

Y är lika

Om y-värdena är liak i skärningspunkten kan vi göra lika dant algebraiskt:

y = x-1

y = 5 - 2x

det betyder att vi kan sätta:

x-1 = 5 - 2x

Ersätt med y i ena ekvationen Ex 3

2y - 2x = 10

2x + y = 17

Lös ut y i första ekvationen

Additionsmetoden

s. 123 -126

Här finns det plats för Håkan att skriva om annat som ska hända på lektionen än just det som som eleven nedan förbereder.

RichardS - Additionsmetoden

Additionsmetoden kan användas för att lösa ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta variabler x och y. Man måste då eliminera en av de obekanta variaberna genom att multiplicera ekvationerna med lämpliga tal så att antingen x eller y försvinner om man adderar ekvationerna.

x + y = 5, 2x − 3y = − 5 Om man vill eliminera x kan man multiplicera den övre ekvationen med -2.Det ger då att − 2x − 2y = − 10 Om man sedan adderar vänsterleden och högerleden får man att − 2x − 2y + 2x − 3y = − 10 − 5 Det ger att − 5y = − 15. Om man löser ut y får man att y = 3. Man kan sedan sätta in detta y i en av de ursprungliga ekvationerna. Om man väljer den första får man att x + 3 = 5 och det ger att x = 2. Lösningen till ekvationssystemet blir x = 2,y = 3

Wikipedia

Här är en bra video som visar hur Additionsmetoden fungerar:

http://www.youtube.com/watch?v=ZIHb8YyeMco

Lösning till ekvationssystem

s. 127- 128

Här finns det plats för Håkan att skriva om annat som ska hända på lektionen än just det som som eleven nedan förbereder.

JakubW - Lösning till ekvationssystem

Problemlösning med ekvationssystem

s. 129-132

Ekvationssystem med tre obekanta

s. 133-134

Repetition

Om du bara vill räkna uppgifter i boken så rekommenderar jag Testet samt de blandade uppgifterna.

Kolla att du har en formelsamling. Den är till ovärderligt stor hjälp på provet.

Räta linjens ekvation

Typtal räta linjens ekvation. Grundläggande begrepp som lutning och m-värde.
Khan-övning i att förstå räta linjer. Den är enkel men det kommer fler med ökande svårighet sedan.
Häfte med enkla uppgifter på y=kx+m som heter Övningsblad räta linjens ekvation. Finns bara på min dator. Jag har delat ut det.
Två sidor med Blandade svåra uppgifter på räta linjen. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
MalinC förklarar Räta linjen Här finns det bra förklaringar och en del övningar. jag kan rekommendera fler delar av hemsidan. Sök efter sånt som har med vårt kapitel att göra.
En laboration om knutar på ett snöre från sid 109 i boken.
En stencil med två räta linjen där du gör en värdetabell, en graf och en ekvation. Tre representationer alltså.

Ekvationssystem

Ritpapper för ekvationssystem
Två sidor med Blandade svåra uppgifter på ekvationssystem. Även dessa är från Uppgiftsbanken och (c). Därför finns filen på min dator men kan skrivas ut vid behov.
Svårare uppgifter,(c)=hårddisk, räta linjen
Typtal Ekvationssystem

Geometri

Uppgift 2239b). Bra att repetera trianglars egenskaper från Ma1C. sidan är stökig för jag måste fixa en mall. Poängen är dock att likbenta trianglar har två vinklar lika.
Övningar på Geometri, typtal. Den kommer nog inte förrän nästa år :-( Det kan bli något papper med blandade typövningar på geometri som jag ska ta fram mha Khan
Övning: Förstå randvinkelsatsen

Blandade uppgifter

Papper som ska delas ut: Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Nivå: rätt svårt
Blandade uppgifter i boken

Varför?

När du repeterar tänker du kanske: - Vad ska jag ha denna algebra och geometri till?

Se filmen så får du svaret;:

Prov algebra och geometri

Matteprovet (Christers omarbetade)

Prov kap 2 Geometri, räta linjen och ekvationssystem

Bedömning formativt

Formativ bedömning. Vi delar ut matteproven, visar och diskuterar kvaliteter och betyg på lösningsexemplen i denna rättningsmall. Eleverna får bläckpennor och rättar sina egna prov och ger förslag på betyg.

@@ Rad 387: / Rad 387: @@
 Formativ bedömning. Vi delar ut matteproven, visar och diskuterar kvaliteter och betyg på lösningsexemplen i denna [[Media:Facit_och_bedömningsmall_Prov_Ma2C_kap_2_Geometri.pptx|rättningsmall]]. Eleverna får bläckpennor och rättar sina egna prov och ger förslag på betyg.
-Här kommer en annan typ av test. Mashmallowtestet!
-<br>
-<youtube>6EjJsPylEOY</youtube>
-<br>