Matematik 3C

Provkarta

Fundera över designmallar för att markera vad som är en definition, ett exempel, en uppgift, mm.

Låt denna sida bli en provkarta på vad wikiskola har att erbjuda:

• En text som förklarar begreppet
• En definition
• Ett exempel
• En uppgift
• Länkar till fler förklaringar
• bilder från Wp
• widget
• GeoGebra

Prov

• Om Digitala prov

Samband och förändring

Derivatan

Introduktion till derivatan

Load video

YouTube

YouTube might collect personal data. Privacy Policy

ContinueDismiss

Introduktion till derivatan

Fler filmer:

• Extrempunkter
• Derivatans definition

Deriveringsregler

Derivatan av en funktion...

texten mellan måsvingarna ingår i mallen som heter exruta

Exempel

För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen. [math]\displaystyle{ f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\} }[/math] Eftersom andraderivatan är [math]\displaystyle{ f''(x) = 6 x - 4\, }[/math] så är [math]\displaystyle{ f''(1/3) = -2 \lt 0\, }[/math] och [math]\displaystyle{ f''(1) = 2 \gt 0\, }[/math]. Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math]. Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).

Definition

Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet

[math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]

Exempel 1 - tryck

Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.

Geometrisk tolkning

Derivatan är tangentens lutning i (x, f(x))

Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).

Khan-övningar

• Jättebra intuitiv förståelse av hur derivatans graf ser ut
• Öva derviering 1 på Khan

Derivataquiz

1 Derivatan av 2x³ är:

	x2
	3x2
	6x2
	x3/3

2 Derivatan beskriver hur något förändras.

	Sannt.
	Falskt.

3 Derivatan anger hur krokig en kurva är.

	Sannt.
	Falskt.

4  

Den svarta kurvan illustrerar en godtyckligt vald funktion.

Vad kallas den röda linjen?

5 Förändringen mellan två punkter ges av att [math]\displaystyle{ {\Delta y = 200} }[/math] och [math]\displaystyle{ {\Delta x = 3} }[/math]. Vad blir lutningen?

Widget

{{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}}