Matematik 3C: Skillnad mellan sidversioner
Hakan (diskussion | bidrag) |
Hakan (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 36: | Rad 36: | ||
{{exruta|derivering av en enkel funktion som x<sup>3</sup> blir 3x<sup>2</sup>}} | {{exruta|derivering av en enkel funktion som x<sup>3</sup> blir 3x<sup>2</sup>}} | ||
{{exruta|För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av <math>f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3</math> för <math>0\leq x\leq 2 </math> beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen. | |||
:<math>f'(x) = 3 x^2 - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \in \{1/3, 1\}</math> | |||
Eftersom andraderivatan är | |||
:<math>f''(x) = 6 x - 4\,</math> | |||
så är | |||
:<math>f''(1/3) = -2 < 0\,</math> och <math>f''(1) = 2 > 0\,</math>. | |||
Värdena i randpunkterna är <math>f(0) = -3</math> respektive <math>f(2) = -1</math>. | |||
Följaktligen har funktionen ''f'' en lokal maximipunkt för <math>x = 1/3</math> och en lokal minimipunkt för <math>x = 1</math>. Respektive extremvärden är <math>f(1/3) = -77/27</math> och <math>f(1) = -3</math>. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt).}} | |||
=== Definition === | === Definition === | ||
Versionen från 1 juli 2012 kl. 17.16
Provkarta
Fundera över designmallar för att markera vad som är en definition, ett exempel, en uppgift, mm.
Låt denna sida bli en provkarta på vad wikiskola har att erbjuda:
- En text som förklarar begreppet
- En definition
- Ett exempel
- En uppgift
- Länkar till fler förklaringar
- bilder från Wp
- widget
- GeoGebra
Prov
Samband och förändring
Derivatan
Introduktion till derivatan
Fler filmer:
Deriveringsregler
Derivatan av en funktion...
| Exempel |
|---|
| derivering av en enkel funktion som x3 blir 3x2 |
| Exempel |
|---|
För att finna det största värdet som antages av funktionen definierad av [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x^2 + x - 3 }[/math] för [math]\displaystyle{ 0\leq x\leq 2 }[/math] beräknar vi derivatan och bestämmer dess nollställen.
Eftersom andraderivatan är
så är
Värdena i randpunkterna är [math]\displaystyle{ f(0) = -3 }[/math] respektive [math]\displaystyle{ f(2) = -1 }[/math]. Följaktligen har funktionen f en lokal maximipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1/3 }[/math] och en lokal minimipunkt för [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]. Respektive extremvärden är [math]\displaystyle{ f(1/3) = -77/27 }[/math] och [math]\displaystyle{ f(1) = -3 }[/math]. Det minsta respektive största värde som antas i intervallet är alltså -3 (ändpunkt och lokal minimipunkt) och -1 (ändpunkt). |
Definition
Derivatan av funktionen [math]\displaystyle{ f }[/math] i punkten [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] definieras som gränsvärdet
- [math]\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} }[/math]
Exempel 1 - tryck
Antag att p(h) betyder lufttrycket (i pascal) vid höjden h (i meter) över havsnivån. Då kommer derivatan p′(h) att ange hur mycket trycket ökar per meter i höjdled. Derivatan får alltså den fysikaliska enheten pascal per meter. Eftersom trycket i själva verket avtar med höjden, kommer alltså derivatan att bli negativ.
Geometrisk tolkning
Om en funktion f åskådliggörs av en graf y = f(x) så anger derivatan av f grafens lutning (förändring av y per förändring av x) för varje värde x. Derivatan i en punkt är således lika med riktningskoefficienten för kurvans tangent i den valda punkten (x, f(x)).
Khan-övningar
Derivataquiz
Widget
{{#widget:WolframAlpha|id=3863698288630ffc1878729993ad7b6d}}